สมการชเรอดิเงอร์ อนุภาคในกล่อง

http://mucc.mahidol.ac.th/~scokw/SCCH230/lecture230_3.pdf
คลิกที่นี่

สมการชเรอดิงเงอร์และอนุภาคในกล่อง และ Postulate (แบบฝึกหัด ส่งในนามห้อง คบ.ฟิสิกส์ปี4)

http://mucc.mahidol.ac.th/~scokw/SCCH230/lecture230_3.pdfhttps://www.google.co.th/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwisk8-3tMnWAhXJp48KHb9zBXAQFgglMAA&url=http%3A%2F%2Fmucc.mahidol.ac.th%2F~scokw%2FSCCH230%2Flecture230_2.pdf&usg=AFQjCNHW5f1nPhs98brZrmEePSpNmF10NQ

ควอนตัม ข้อตกลงเบื้องต้น

https://www.google.co.th/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwisk8-3tMnWAhXJp48KHb9zBXAQFgglMAA&url=http%3A%2F%2Fmucc.mahidol.ac.th%2F~scokw%2FSCCH230%2Flecture230_2.pdf&usg=AFQjCNHW5f1nPhs98brZrmEePSpNmF10NQ

บทที่ 3 กำลังงานจากควอนตัม

บทนี้ จะดูว่าแนวคิดควอนตัมมีบทบาทสำคัญในฟิสิกส์การเกิดของพลังงาน  ควอนตัมได้ก้าวเข้ามาเกี่ยวข้องกับการผลิตพลังงาน รูปแบบต่างๆมีบทบาทสำคัญในชีวิตสมัยใหม่ ที่ใช้พลังงานฟอสซิล ในยานพาหนะ  การหุงต้ม ให้ความอบอุ่นในฤดูหนาว พลังงานเข้าถึงบ้านเรือนที่อยู่อาศัยโดยผ่านทาง ในรูปของพลังงานไฟฟ้า ซึ่งไม่ใช่เป็นแหล่งของพลังงาน  เป็นเพียงวิธีการส่งผ่านพลังงานจากที่หนึ่งไปยังอีกที่หนึ่ง พลังงานไฟฟ้าอาจได้มาจากพลังงาน ที่เก็บในเชื้อเพลิงฟอสซิล ถ่าน น้ำมัน หรือแกส เชื้อเพลิงนิวเคลียร์ เช่นยูเรเนียม หรือ พลูโตเนียม แหล่งพลังงานทียั่งยืนเช่นแสงอาทิตย์ ลม คลื่น เฉพาะพลังงานลมและคลื่นไม่ได้เกี่ยวข้องโดยตรงกับฟิสิกส์ควอนตัม

เชื้อเพลิงทางเคมี
      เชื้อเพลิงเช่น ไม้ กระดาษ น้ำมัน หรือแกส ประกอบด้วยสารประกอบไฮโดรคาร์บอน  อันมีองค์ประกอบหลักคืออะตอมไฮโดรเจนและคาร์บอน   เมื่อเผาเชื้อเพลิงดังกล่าวในอากาศไฮโดรเจนกับคาร์บอนจะรวมตัวกันกับออกซิเจนจากอากาศเกิดเป็นน้ำและคาร์บอนไดออกไซด์ ตามลำดับ ในกระบวนการนี้พลังงานที่ปลดปล่อยในรูปของความร้อน ที่สามารถนำไปใช้ในการผลิตไฟฟ้า นำไฟฟ้าที่ำดไปใช้ให้พลังงานกับมอเตอร์ ให้กับหลอดไฟฟ้าให้แสงสว่าง ในอุปกรณ์ที่ให้ความร้อนต่างๆ เป็นต้น
      เมื่อดูว่าพลังงานเกี่ยวข้องขึ้นอยู่กับฟิสิกส์ควอนตัมอย่างไร  เร่ิ่มจากตัวอย่างการรวมตัวทางเคมีอย่างง่ายที่อะตอมไฮโดรเจนรวมตัวกันสองอะตอมเกิดเป็นโมเลกุลไฮโดรเจน ที่ประกอบด้วยโปรตอนสองตัวและอิเลคตรอนสองตัวดังในรูปที่ 3.1

รูปที่ 3.1 เมื่ออะตอมไฮโดรเจน 2 อะตอมมารวมกันเกิดเป็นโมเลกุลไฮโดรเจน (a)พลังงานรวมของระบบลดลง และพลังงานส่วนเกิดปลดปล่อยออกมาในรูปของความร้อน  กราฟ(b)แสดงการเปลี่ยนแปลงพลังงานของระบบ เมื่อระยะห่างระหว่างอะตอมไฮโดรเจนเปลี่ยนแปลง  สถานะสุดท้ายของโมเลกุลตรงกับจุดที่พลังงานต่ำที่สุดที่แสดงด้วย p

     ในบทที่2 ได้แสดงให้เห็นแล้วว่าคุณสมบัติคลื่นของอิเลคตรอนส่งผลให้พลังงานของอะตอมไฮโดรเจนอยู่สภาพควอนไตย์  ดังนั้นระดับพลังงานมีค่าชุดหนึ่งเป็นการเฉพาะ เมื่อไม่ถูกกระตุ้น อะตอมจะอยู่ที่ระดับพลังงานต่ำสุดหรือสถานะพื้น (ground state)  ต่อไปเมื่อพิจารณาว่าพลังงานรวมของระบบได้รับผลกระทบอย่างไรเมื่อนำอะตอมไฮโดรเจน 2 อะตอมเข้าใกล้กันและกัน  ประการแรกพิจารณาพลังงานศักย์ซึ่งเปลี่ยนแปลงใน 3 แนวทาง  ทางแรกพลังงานศักย์มีค่าเพิ่มขึ้นเพราะแรงผลักไฟฟ้าสถิตย์ระหว่างโปรตอนประจุบวก แนวทางที่สอง พลังงานศักย์มีค่าลดลงเพราะว่าอิเลคตอนแต่ละตัวตอนนี้ถูกดึงดูดด้วยโปรตอนทั้งสอง แนวทางที่สามพลังงานศักย์เพิ่มขึ้นเพราะแรงผลักระหว่างอิเลคตรอนประจุลบทั้งสอง  นอกจากนี้พลังงานจลน์ของอิเลคตรอนลดลงเพราะว่าอิเลคตรอนสามารถเตลื่อนไปได้ทั่วระหว่างนิวเคลียสทั้งสอง  ดังนั้นขนาดของกล่องที่ส่งผลที่จำกัดขอบเขตอิเลคตรอนไว้เพิ่มขึ้น (เห็นได้จากที่อภิปรายพฤติกรรมควอนตัมของอนุภาคในกล่อง ในบทที่ 2 ที่พบว่ากล่องยิ่งมีขนาดใหญ่ขึ้น ก็ยิ่งมีพลังงานจลน์ต่ำที่สถานะพื้น)  และยังได้กำหนดว่าข้อยกเว้นของ พอลลิ (Pauli exclusion principle) ยอมให้อิเลคตรอนทั้งสองเข้าครองที่สถานะพื้น  จัดให้ว่าอิเลคตรอนทั้งสองมีสปิน(spin)ตรงข้ามกัน ผลที่ตามมาของการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดขึ้นอยู่กับว่าอะตอมอยู่ห่างกันเท่าใด  เมื่ออยู่ห่างกันมากพลังงานรวมจะเปลี่ยนน้อยมาก และเมื่ออยู่ใกล้กันมาก การผลักกันทางไฟฟ้าสถิตย์ระหว่างนิวเคลียสจะมีผลมาก ที่ห่างกันกลางๆ จะมีการลดลงของพลังงานรวม การลดลงมากที่สุดเมื่อโปรตอนห่างประมาณ 7.4x10^-10 m  (เทียบเคียงกับรูป 3.1 (b))

    ที่จุดนี้ ความแตกต่างระหว่างพลังงานของโมเลกุลไฮโดรเจนและพลังงานของอะตอมไฮโดรเจนที่อยู่ห่างจากกัน เท่ากับ หนึ่งในสามของพลังงานที่ระดับพื้นของอะตอมไฮโดรเจน พลังงานส่วนที่เกินจากของโมเลกุลไปไหน คำตอบก็คือบางส่วนไปเป็นพลังงานจลน์ในการเคลื่อนโมเลกุล ขณะที่ส่วนที่เหลือปลดปล่อยออกมาในรูปของโฟตอน และทั้งสองกรณีดังกล่าวก่อให้เกิดความร้อน ผลโดยรวมทำให้อุณหภูมิสูงขึ้น ซึ่งเป็นส่วนที่เราคาดหวังจากเชื้อเพลิง

     จากตัวอย่างที่แสดงหลักการว่าพลังงานสามารถปลดปล่อยโดยการนำอะตอมเข้ามารวมกันเกิดเป็นโมเลกุล แต่ในกรณีเฉพาะของไฮโดรเจนไม่มีประโยชน์มากนักในทางปฏิบัติที่จะเป็นแหล่งของพลังงาน ทั้งนี้เพราะแกสไฮโดรเจนที่มีบนโลกนั้นมักจะประกอบกันเป็นโมเลกุลอยู่แล้ว ตัวอย่างในทางปฏิบัติมากกว่าคือการรวมกันของไฮโดรเจนกับออกซิเจนเกิดเป็นน้ำ  สถานะพลังงานที่ระดับพื้นของของโมเลกุลน้ำน้อยกว่าสถานะพลังงานที่ระดับพื้นของอะตอมออกซิเจนและสองอะตอมไฮโดรเจนที่เป็นองค์ประกอบ  อย่างไรก็ตาม เช่นเดียวกับไฮโดรเจนที่ แกสออกซิเจนก็อยู่ในรูปโมเลกุลที่มีสองอะตอม ถ้าเราผสมรวมไฮโดรเจนและออกซิเจนเข้าด้วยกันที่อุณหภูมิห้อง ก็ไม่เกิดอะไรขึ้น ทั้งนี้เพราะก่อนที่จะรวมกันได้ให้เกิดเป็นน้ำ โมเลกุลของไฮโดรเจนและออกซิเจน สิ่งแรกต้องแยกตัวออกเป็นอะตอมที่เป็นองค์ประกอบเสียก่อน ซึ่งจำเป็นต้องให้พลังงานจากแหล่งภายนอกเสียก่อน  อย่างไรก็ตามทันทีที่โมเลกุลน้ำก่อตัวขึ้นบ้างแล้ว พลังงานที่ปลดปล่อยในกระบวนการนี้มากเกินพอที่ใช้แยกอะตอมไฮโดรเจนและออกซิเจน กระบวนการเกิดขึ้นรวดเร็วและเกิดขึ้นได้ด้วยตัวเอง  ตัวอย่างหนึ่งในเรื่องนี้คือเปลวไฟจากการจุดแกสในห้องปฏิบัติการหรือ ในครัวโดยใช้ไม้ขีดหรืออุปกรณ์ทำประกายไฟ ไฟจากไม้ขีดหรือประกายไฟที่อุณหภูมิสูง ทำให้โมเลกุลไฮโดรเจนและออกซิเจนที่อยู่ใกล้เคียงแยกตัวส่งผลให้มีการรวมอะตอมของออกซิเจนและไฮโดรเจนได้โมเลกุลน้ำ และปลดปล่อยพลังงานที่ให้ความร้อนแกสมากขึ้นที่สามารถที่จะจุดให้เกิดเปลวไฟต่อไป กระบวนการเกิดขึ้นต่อเนื่องได้ด้วยตัวเอง และความร้อนที่ได้สามารถนำมาใช้ในการหุงต้ม ให้ความอบอุ่นแก่บ้านเรือน ฯลฯ

     หลักการที่เกี่ยวข้องตามตัวอย่างนี้อยู่ภายใต้เชื้อเพลิงทางเคมีที่มีประโยชน์ทั้งหมด และโดยแท้จริงคือพลังงานนิวเคลียร์ ที่เราจะเห็นได้ต่อไป  เชื้อเพลิงไฮโดรคาร์บอนเช่น น้ำมัน หรือ แกสบรรจุไว้ด้วยโมเลกุล ประกอบด้วยคาร์บอน ไฮโดรเจน เป็นหลัก ซึ่งอยู่ได้อย่างคงตัวมาเป็นเวลาช้านาน อาจเป็นล้านๆ ปี ความคงตัวนี้ยังมีอยู่แม้เมื่อสารประกอบนี้ได้รับการสัมผัสกับอากาศที่อุณหภูมิห้อง  แต่ทันทีที่ให้พลังงานในการแยกโมเลกุลเป็นอะตอม อะตอมก็จะจัดตัวเองเป็นส่วนผสมของน้ำและคาร์บอนไดออกไซด์พร้อมกับการปลดปล่อยพลังงาน หลักการที่เกี่ยวข้องกับฟิสิกส์ของควอนตัม กล่าวคือ ผลรวมของพลังงานควอนตัมที่สถานะพื้นของโมเลกุลน้ำ และคาร์บอนไดออกไซด์น้อยกว่าโมเลกุลเริ่มต้นไฮโดรคาร์บอน  อย่างไรก็ตามเพื่อให้เริ่มต้นการแปลี่ยนแปลงพลังงานจะต้องให้แก่สารนี้ ทันทีที่ส่วนผสมได้รับความร้อนที่อุณหภูมิสูงมากพอกระบวนการก็ดำรงอยู่ได้ด้วยตนเอง (ยกเว้นว่าทำให้กระบวนการตัดขาดไป พลังงานยังคงปลดปล่อยออกมาอย่างต่อเนื่องจนกระทั่งเชื้อเพลิงหมดไป

หลักความไม่แน่นอนของไฮเซ็นเบิร์ก

การใช้แบบจำลองของโบร์มาอธิบายมีปัญหายุ่งยากมากขึ้น ซึ่งพบว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะทราบตำแหน่งและโมเมนตัม หรือ พลังงาน กับเวลาในเวลาเดียวกัน เหตุผลที่ใช้อธิบายโดยเทียบเคียงกับเรื่องที่กำลังแล่นอยู่ และคำนวณหาตำแหน่งของเรือ คลื่นแสงที่ทำให้มองเห็นเรือมีความยาวคลื่นประมาณ 4x10^-5 ถึง 8x10^-5 เซ็นติเมตร หรือ 4x10^-7 ถึง 8x10^-7 เมตร ซึ่งมีพลังงานต่ำมาก แสงจะไปตกกระทบที่เรืิอแล้วสะท้อนมาเข้าตา เมื่อตรวจจับแสงที่ได้นั้น พบว่ามีค่าพลังงานแสงต่ำมาก เรือที่มีระวางขับน้ำหลายตันจะไม่มีผลกระทบทำให้เรือเคลื่อนไหว อันเป็นผลมาจากแสงมาตกกระทบ และถ้าต้องการมองอนุภาคที่เล็กมากที่มีขนาดเส้นผ่าศูนย์กลาง 10^-8 cm หรือ 10^-10 เมตร การจะหาตำแหน่งของอนุภาคจำเป็นต้องใช้แสงที่มีความยาวคลื่นเท่ากับอนุภาคโดยประมาณ การแผ่รังสีที่ความยาวคลื่น 10^-8 ซม. ซึ่งถือว่าเป็นความยาวคลื่นที่สั้นมาก และมีพลังงานสูงเมื่อเทียบกับขนาดของอะตอม อันเนื่องมาจากผลของสมการคือ
                               E = hc/l      l คือ ความยาวคลื่น
     ดังนั้นในกระบวนการกำหนดตำแหน่งของอนุภาค จากการสังเกตอนุภาคนั้นมีการแผ่รังสีพลังงานในระดับสูง ทำให้มีการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมและพลังงาน  ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะหาทั้งตำแหน่งและโมเมนตัมขณะเดียวกันให้มีความละเอียดถูกต้องสูงกว่าปริมาณมูลฐานที่สุดซึ่งได้แก่ค่าคงที่ของพลั้ง h และความสัมพันธ์ระหว่างความไม่แน่นอนของตำแหน่งหรือระยะทาง และความไม่แน่นอนที่มีอยู่ในโมเมนตัมจะเป็นดังนี้

                                    Δ x. Δp ≥ h  

    ความสัมพันธ์นี้อยู่ในรูปแบบหนึ่งของหลักการความไม่แน่นอนของไฮเซ็นเบร์ก บ่งชี้ให้เห็นว่า h เป็นค่ามูลฐานจากการกระทำทางควอนตัม จะสามารถเห็นได้ว่าสมการนี้มีมิติที่ถูกต้อง มาจากมิติความไม่แน่นอนของตำแหน่งคูณกับมิติความไม่แน่นอนของโมเมนตัมจะมิติความไม่แน่นอนเป็นดังนี้

                   ระยะทาง x ( มวล x  ระยะทาง/เวลา)   kg m^2/sec
       สมการต่อไป มีมิติที่ถูกต้องเช่นกัน
                                   Δ t. ΔE ≥ h     ก็ได้มิติหน่วยเหมือนกัน

การแนะจากแบบจำลองของโบร์ทำให้สามารถรู้รายละเอียดการเคล่ื่อนที่เป็นวงโคจรอิเลคตรอน และพลังงานที่เวลาเดียวกัน แต่ไม่สามารถที่จะอธิบายได้อย่างถูกต้อง จึงนำไปสู่การหาวิธีอธิบายอื่นที่ดีกว่า แบบจำลองแบบคลื่นของอะตอมไฮโดรเจน ได้รับความสนใจกว่า

สรุปบทที่ 2 คลื่นและอนุภาค

ในบทนี้ได้นำเข้าสู่แนวคิดหลักของควอนตัมฟิสิกส์ ซึ่งจะพัฒนาและประยุกต์ใช้กับสถานะการณ์ทางกายภาพหลายอย่างในบทที่จะถึงต่อไป ผู้อ่านคงจะได้ข้อแนะนำมาอย่างดีเพื่อให้แน่ใจเข้าใจหลักการเบื้องต้นเหล่านั้น ซึ่งย่อสรุปไว้ดังนี้
-ตัวอย่างของคลื่นแบบคลาสสิกคือคลื่นน้ำ คลื่นเสียง และคลื่นแสง  ทั้งหมดแบ่งชนิดได้ตามความถี่ ซึ่งหาได้เป็นจำนวนครั้งต่อวินาทีที่จุดใดๆ บนคลื่นสั่นแกว่ง และความยายคลื่นเป็ฯการวัดระยะซ้ำเดิมตามคลื่นที่เวลาใดๆ
-คลื่นมีรูปแบบการเดินทางของคลื่น หรือ เป็นคลื่นนิ่ง
-การเดินทางของคลื่นเคลื่อนท่ี่อัตราเร็วหาได้จากความถี่และความยาวคลื่น
-เพราะว่าคลื่นนิ่งเป็นผลจากที่คลื่นถูกจำกัดขอบเขตในบริเวณในสเปสซ์ ความยาวคลื่นและดังนั้น ความถี่ของคลื่นนิ่งก็จำกัดให้มีค่าได้ชุดหนึ่งที่ยอมให้ได้เท่านั้น  เรื่องนี้มีตัวอย่างในโน้ตดนตรีที่สร้างขึ้นจากเครื่องดนตรี
-แม้ว่ามีหลักฐานที่แสงแสดงตัวเป็นคลื่น ในบางสถานะการแสงทำตัวเหมือนราวกับว่าเป็นกระแสของอนุภาคที่เรียกว่าควอนต้าแสง หรือ โฟตอน
-ทำนองเดียวกันอนุภาคควอนตัมเช่นอิเลคตรอนทำตัวในบางบริบทราวกับว่าตัวเองเป็นคลื่น
-เมื่ออิเลคตรอนตัวหนึ่งถูกจำกัดขอบเขตอยู่ในพลังงานศักย์หนึ่ง เช่นในกล่อง คลื่นสารเป็นแบบคลื่นนิ่งด้วยความยาวคลื่นเฉพาะ ซึ่งในทางกลับกันเป็นเหตุพลังงานอิเลคตรอนควอนไตซ์ นั่นคือมีชุดหนึ่งของค่าเฉพาะ
-เมื่อระบบควอนตัมเคลื่อนที่จากระดับพลังงานหนึ่งไปยังอีกระดับหนึ่ง  การเปลี่ยนแปลงของพลังงานถูกจัดให้เป็นโฟตอนที่นำเข้ามาหรือโฟตอนปล่อยออกไปตามที่กำหนด
-คุณสมบัติของคลื่นของอนุภาคควอนตัมยอมให้อนุภาคควอนตัมนั้นเจาะอุโมงควอนตัมผ่านสิ่งกั้นขวางพลังงานศักย์ ที่ซึ่งในทางคลาสสิกไม่สามารถที่จะเกิดขึ้นได้
-การวัดและการคำนวณระดับพลังงานที่ของอะตอมไฮโดรเจนสอดคล้องตรงใกล้เคียงกันมาก ซึ่งเป็นหลักฐานที่มั่นคงสำหรับความถูกต้องของฟิสิกส์ควอนตัม
-หลักการของพอลลิ(pauli principle) กล่าวว่าไม่มีอิเลคตรอนสองตัวใดสามารถเข้าครองสถานะทาง
ควอนตัมเดียวกัน  เพราะว่าอิเลคตรอนตัวหนึ่งๆ สามารถอยู่ในสถานะ 1 จาก 2 สถานะของการสปิน ซึ่งหมายความว่าแต่ละคลื่นนิ่งสามารถบรรจุได้ 2 อิเลคตรอน

ข้อสังเกต คำศัพท์
-เงื่อนไขขอบ
-กรณีการดึง ยืดเส้นเชือก สาย อัตราเร็วสัมพันธ์กับความตึงในเส้นเชือกและมวลของเส้น ซึ่งทั้งสองสามารถปรับได้ในเครื่องดนตรีส่วนมาก เช่นไวโอลินเปลี่ยนความตึงในสายเมื่อมีการตั้งเสียงหรือจูนเครื่องดนตรี สายที่หนักกว่าหรือเบากว่าใช้ในการสร้างโน้ตที่เสียงต่ำ และ โน้ตที่สูงกว่าตามลำดับ
-โดยเทคนิค ขนาดหรือแมกนิจูดของฟังก์ชั่นคลื่นที่คงที่อยู่ ขณะที่เฟส(phase)สั่นแกว่ง  อย่างไรก็ตามการสั่นแกว่งของเฟสนี้มีบทบาทน้อย ถ้ามีอยู่บ้าง  เป็นส่วนที่หาคุณสมบัติได้ ก็จะอภิปรายกันต่อ  ขนาดของฟังก์ชันคลื่นสามารถเปลี่ยนแปลง แต่เฉพาะในสถานะการณ์ที่ซึ่งพลังงานของอนุภาคไม่ได้กำหนดให้ชัดแจ้งก็จะไม่อภิปรายกันต่อไป
ขเพราะว่าคลื่นถูกคลิปซ์ไปที่ขอบมุมของกล่อง กลับได้ว่าขนาดของโมเมนตัมมีกาแผ่กระจายของมากกว่าเพียงกำหนดโดย pn อย่างไรก็ตามขนาดที่แผ่กระจายออกทำนองเดียวกับ dp ตามที่ได้กำหนดไว้ที่ผ่านมา
-แนวคิดที่อิเลคตรอนหนึ่งๆตามตัวอักษรมีการหมุนควงหรือหมุนรอบตัวเอง นั้นคงจะเป็นการคิดตามโมเดลกึ่งคลาสสิกส์ คือคุณสมบัติที่ปรากฏออกมาจากการจัดทางคณิตศาสตร์ขั้นก้าวหน้าที่ควบรวมหลักการฟิสิกส์ควอนตัมและสัมพันธภาพ (relativity) ผลลัพธ์พื้นฐานที่อิเลคตรอนตัวหนึ่งสามารถอยู่ในสถานะสปิน 1 จาก 2 สถานะการสปินคือผลจากการจัดดังกล่าวด้วย

บทที่ 2...เจาะอุโมงควอนตัม ออสซิลเตอร์ควอนตัม , อะตอมไฮโดรเจน

การเจาะอุโมงควอนตัม

   แรกสุดเราพิจารณากรณีของอนุภาคที่เคลื่อนเข้าใกล์กำแพงพลังงานศักย์ (potential step)  หมายถึงว่าพลังงานศักย์นั้นเพิ่มขึ้นทันทีทันใดที่จุดเฉพาะพิเศษ ดังแสดงในรูป 2.6 ซึ่งเราสนใจในกรณีพลังงานของอนุภาคที่เข้าใกล้น้อยกว่าความสูงกำแพงพลังงานศักย์ ดังนั้นจากแนวคิดทางคลาสสิก เราคาดหวังได้ว่าอนุภาคเคลื่อนสะท้อนกลับทันทีที่อนุภาคเคลื่อนไปถึงกำแพงพลังงานศักย์ด้วยอัตราเร็วเดียวกัน มีหลายอย่างมากเกิดขึ้นแบบเดียวกันเมื่อประยุกต์ใช้ฟิสิกส์ควอนตัม แต่มีความแตกต่างที่สำคัญ ที่จะเราจะเห็นได้คือ สิ่งแรกเราพิจารณาในรูปของคลื่นสาร บนฐานจากการอภิปรายมาก่อนหน้านี้ เราคาดหวังอนุภาคที่เคลื่อนเข้าหากำแพงพลังงานศักย์ แทนการเดินทางของคลื่นที่เคลื่อนที่จากทางซ้ายไปทางขวา และหลังจากกระทบกำแพงสะท้อนกลับคลื่นจะเคลื่อนจากขวาไปซ้าย โดยทั่วไปเราไม่รู้ว่าอนุภาคกำลังทำอะไรที่เวลาเฉพาะหนึ่ง  ดังนั้นฟังก์ชันคลื่นเคลื่อนไปทางซ้ายของกำแพง เกิดจากผลรวมที่ผ่านมา และยืนยันเมื่อแก้สมการชเรอดิงเงอร์โดยใช้คณิตศาสตร์  อะไรคือความสนใจจริงอยู่เในรูปของคลื่นเคลื่อนไปทางขวาของกำแพง ในทางฟิสิกส์คลาสสิกไม่มีความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาคที่ตำแหน่งนั้น  ดังนั้นเราคงคาดได้ว่าฟังชันคลื่นเป็นศูนย์ในบริเวณนี้  อย่างไรก็ตามเมื่อเราแก้สมการ ชเรอดิงเงอร์ ก็พบดังที่แสดงในรูป 2.6(a) การคำนวณฟังก์ชันคลื่นไม่ได้เป็นศูนย์ไปจนถึงทางขวาบางส่วนของกำแพงพลังงานศักย์  จากที่คิดให้ความเข้มของฟังก์ชั่นคลื่นที่จุดใดๆแทนความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาคที่จุดนั้น  เราเห็นได้ว่าฟิสิกส์ควอนตัมทำนายว่ามีโอกาสหรือความน่าจะเป็ฯในการพบอนุภาคในบริเวณที่ซึ่งไม่เคยพบได้เลยในทางฟิสิกส์คลาสสิก อันเป็นเรื่องราวทั้งหมดของเรื่องนี้

รูปที่ 2.6 เส้นทึบหนักใน(a) แทนกำแพงพลังงานศักย์ (potential step) ฟังก์ชันคลื่นสำหรับอนุภาคตัวหนึ่งที่เคลื่อนไปที่กำแพงพลังงานศักย์ โดยอนุภาคสามารถเจาะผ่านกำแพง ได้ให้ค่าความน่าจะเป็นในการพบอนุภาคในบริเวณที่เป็นบริเวณต้องห้ามในทางฟิสิกส์คลาสสิก ในกรณีที่สอดคล้องกันที่มีสิ่งขวางกั้นแคบๆ (narrow barrier) ดังแสดงใน(b) ฟังก์ชันคลื่นที่เจาะสิ่งขวางกั้นเข้าไปจึงทำให้มีความน่าจะเป็นที่อนุภาคจะไปโผล่ทางด้านขวามือของสิ่งขวางกั้น ที่ไม่เคยมีได้ทางฟิสิกส์คลาสสิก ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าการเจาะอุโมงกลควอนตัม (quantum mechanical tunnelling)

        ในเรื่องนี้กลับพบว่าเป็นไปไม่ได้ที่ทดสอบการทำนายการเกิดขึ้นข้างบนนี้ได้โดยตรง  เนื่องจากการวางตัวตรวจจับแบบใดๆก็ตามภายในสิ่งขวางกั้นส่งผลให้เปลี่ยนแปลงรูปแบบพลังงาน  แต่เราสามารถทดสอบทางอ้อม เพื่อพิจารณาสถานะการณ์ที่แตกต่างกันเล็กน้อยดังแสดงในรูป 2.6(b)  แทนที่จะเป็นกำแพงพลังงานศักย์ก็แทนด้วยสิ่งขวางกั้น ที่กำแพงพลังงานศักย์ลดลงเป็นศูนย์ไปทางขวาของสิ่งขวางกั้นมีคลื่นเล็กน้อยง เมื่อใช้สมการชเรอดิงเงอร์แก้สมการในสถานะการณ์เช่นนี้ เราพบรูปแบบของฟังก์ชันคลื่นทางซ้ายของสิ่งขวางกั้น ภายในสิ่งขวางกั้น ซึ่งคล้ายคลึงกับที่เพิ่งอภิปรายมาแล้วในกรณีกำแพงพลังงานศักย์ อย่างไรก็ตามตอนนี้มีคลื่นเคลื่อนที่ค่อนข้างเล็ก แต่มีแอมปริจูดแน่ชัดไปทางขวาสิ่งขวางกั้น  การตีความดังกล่าวทางกายภาพ เราสรุปได้ว่ามีความน่าจะเป็นเล็กน้อยที่อนุภาคจะเข้าสู่สิ่งขวางกั้นจากทางซ้าย ไม่สะท้อนกลับแต่กลับไปโผล่ในอีกด้านหนึ่ง ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า การเจาะอุโมงกลควอนตัม (quantum mechanical tunnelling)  เพราะว่าอนุภาคปรากฏไปเจาะอุโมงผ่านสิ่งขวางกั้นที่ไม่สามารถผ่านได้ในทางคลาสสิก

มีปรากฏการณ์ทางกายภาพในวงกว้างที่สาธิตแสดงให้เห็นการเจาะอุโมงควอนตัมในทางปฏิบัติ  ตัวอย่างเช่นในการสลายตัวของสารกัมมันตรังสี ที่อนุภาคอัลฟาถูกปลดปล่อยออกมาจากนิวเคลียสของบางอะตอม ความน่าจะเป็นการเกิดขึ้นสำหรับอะตอมเป็นการเฉพาะนั้นต่ำมาก การต่ำเช่นนี้นั้นนิวเคลียสพิเศษเช่นนี้จะรอหลายล้านปีโดยเฉลี่ยก่อนที่จะสลายตัว ตอนนี้เป็นที่เข้าใจบนฐานที่อนุภาคอัลฟ่าถูกกักบริเวณภายในนิวเคลียสโดยสิ่งขวางกั้นพลังงานศักย์ที่เท่าเทียมกัน หลักการที่คล้ายคลึงกันกับทีอภิปรายข้างบนนี้ พบคลื่นที่แอมปลิจูดเล็กมากภายนอกสิ่งขวางกั้น ซึ่งหมายถึงว่ามีความน่าจะเป็นน้อย(แต่ไม่เป็นศูนย์)ของอนุภาคที่เจาะอุโมงควอนตัมออกมา

ไม่กี่ปีมานี้ การเจาะอุโมงควอนตัมได้นำไปประยุกต์  ใช้ประโยชน์ในการพัฒนากล้องจุลทัศน์สแกนนิ่งทูนเนลลิง (scanning tunnelling microscope) ในอุปกรณ์นี้ประกอบด้วยปลายโลหะจุดแหลมที่ยึดไว้เหนือผิวหน้าของโลหะ จะได้ผลคืออิเลคตรอนเจาะอุโมงผ่านสิ่งขวางกั้นที่แยกจากปลายโลหะจุดแหลมจากผิวหน้า และมีกระแสผ่าน อ้างอิงกลับไปยังรูปที่ 2.6  เราจะเห็นว่าฟังก์ชันคลื่นทางด้านขวาของสิ่งขวางกั้นขนาดเล็กลงอย่างรวดเร็ว ขณะที่ความหนาของสิ่งขวางกั้นเพิ่มขึ้น ซึ่งเป็นความเข้าใจว่ากระแสการเจาะอุโมง(tunnelling current) ลดลงรวดเร็วมากขณะที่ระยะที่จุดปลายโลหะและแผ่นแพลทโลหะเพิ่มขึ้น ถ้าจุดปลายโลหะสะแกนไปทั่วผิวหน้าโลหะที่ไม่ราบเรียบ การเปลี่ยนแปลงของกระแสไฟฟ้าให้ข้อมูล(สารสนเทศ)เกี่ยวกับความไม่ราบเรียบและผลเป็นแผนที่ของผิวหน้า  เทคนิคนี้ได้พัฒนาขึ้นไปถึงจุดที่จากความไม่ราบเรียบของผิวหน้าเกี่ยวโยงกับแต่ละอะตอมที่สามารถตรวจจับได้ ตามตัวอย่างภาพที่สร้างขึ้นมาได้ดังในรูปที่ 2.7 ความสามารถของนักวิทยาศาสตร์ที่จะสังเกตและจัดการกับแต่ละอะตอมโดยใช้สแกนนิ่งทูนเนลลิงไมโครสโคปี และเทคนิคที่ใกล้เคียงกันได้เปิดโลกทัศน์ใหม่ของวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีที่เรียกว่า วิทยาศาสตร์นาโน (nanoscience)

รูปที่ 2.7 (a) กล้องจุลทัศน์สแกนนิ่งทูนเนลลิงเคลื่อนหัวจุดปลายแหลมไปทั่วผิวหน้าและตรวจจับกระแสการเจาะอุโมงที่ผ่านเข้าไปที่ผิว ซึ่งเปลี่ยนค่าไปอย่างมากตามระยะของจุดปลายแหลมจากผิวหน้า จะตรวจจับได้ถึงความไม่ราบเรียบ ตามรูป(b)แสดงให้เห็นภาพส่วนของผิวหน้าของผลึกซิลิกอน ปลายยอดที่สว่างจะตรงกับอะตอมแต่ละตัว ภาพนี้จัดทำโดย P.A Slone และ R.E. palmer ที่ห้องปฏิบัติการฟิสิกส์ระดับมาตรนาโนของมหาวิทยาลัย Birmingham,UK

ออสซิลเลเตอร์ควอนตัม

      ตัวอย่างที่ 2 เราพิจารณาอนุภาคตัวหนึ่งเคลื่อนที่ในบ่อพลังงานศักย์พาราโบลา (parabolic potential) ดังแสดงในรูป 2.8ข้างล่างนี้  ในกรณีทางฟิสิกส์คลาสสิก อนุภาคจะออสซิลเลทหรือสั่นแกว่งตามปกติจากด้านหนึ่งของบ่อพลังงานศักย์ไปยังอีกด้านด้วยความถี่หนึ่งหาได้จากมวลอนุภาคและรูปร่างของบ่อ ขนาดหรือแอมปลิจูดของการสั่นแกว่งหาได้จากพลังงานของอนุภาค: ที่ตอนล่างหรือพื้นของบ่อ  พลังงานทั้งหมดนี้คือพลังงานจลน์  ขณะที่อนุภาคเข้าสู่ภาวะนิ่งที่ขีดจำกัดของการเคลื่อนที่  และขณะเมื่อพลังงานทั้งหมดเป็นพลังงานศักย์  ฟังก์ชันคลื่นหาได้โดยการแก้สมการชเรอดิงเงอร์  และได้พบว่า ดังในกรณีอนุภาคในกล่อง (รูปที่ 2.5)  ผลเฉลยของคลื่นนิ่งเป็นไปได้สำหรับค่าเฉพาะของพลังงานเท่านั้น ระดับพลังงานและฟังก์ชันคลื่นเกี่ยวพันกับระดับพลังงานแสดงไว้ดังรูป 2.8  มีความคล้ายคลึงที่สำคัญ และ ตวามแตกต่างที่สำคัญ  ระหว่างคลื่นนิ่งในรูป 2.8 และคลื่นนิ่งที่แสดงตรงกันในรูปที่ 2.5  สิ่งที่เหมือนกันสิ่งแรก ในทั้งสองกรณี ฟังก์ชันคลื่นตรงกันในสถานะพลังงานต่ำสุดที่แทนด้วยกราฟโค้งนูนเดี่ยวที่ไปสู่ค่าสูงสุดที่ตอนกลาง สถานะสูงสุดถัดไปจะมีกราฟ 2 โค้งนูน อันหนึ่งเป็นลบอีกอันเป็นบวกด้วยฟังก์ชันคลื่นข้ามแกนอ้างอิงและต่อๆ ไป  ตอนนี้ความแตกต่าง ประการแรก ความกว้างที่เข้าครองโดยคลื่นนั้นเหมือนกันสำหรับทุกสถานะในกรณีของกล่อง แต่เปลี่ยนไปกรณีการสั่นแก่วง เพราะว่าขณะที่พลังงานรวมเพิ่มขึ้น เช่นเดียวกับความกว้างของบริเวณซึ่งพลังงานรวมเป็นบวก กล่าวอย่างหยาบๆ เราสามารถกล่าวได้ว่าความกว้างที่ส่งผลของกล่องแตกต่างกันสำหรับระดับพลังงานที่แตกต่างกัน  ประการที่สอง คลื่นไม่ได้เปลี่ยนไปสู่ศูนย์ทันทีทันใด   เข้าสู่ขีดจำกัดของการเคลื่อนที่แบบคลาสสิก แต่ทะลุทะลวงเข้าสู่บริเวณต้องห้ามทางคลาสสิกในขอบเขตหนึ่งในอาการเดียวกันกับกรณีอนุภาคเคลื่อนเข้าบรรไดพลังงานศักย์ (ดูรูป2.6aเปรียบเทียบ)เป็นการอภิปรายในรายละเอียดมากขั้นในคณิตศาสตร์ 2.6
      โดยการศึกษาตัวอย่างนี้ ผู้อ่านจะหวังให้เข้าใจในหลายลักษณะ  ของปัญหาที่สามารถหาได้จากเข้าใจเรื่องคลื่นสารเมื่อมีพลังงานศักย์คงที่  แม้ว่าในรายละเอียดต้องการแนวทางการใช้คณิตศาสตร์มากขึ้น ตอนนี้เราคงพยายามที่จะประยุกต์หลักการเพื่อเข้าใจฟิสิกส์ควอนตัมของอะตอมจริง

รูปที่ 2.8 ระดับพลังงานและฟังก์ชันคลื่นที่สอดคล้องกัน ที่มี 4 สถานะพลังงานต่ำสุด ของอนุภาคหนึ่งกำลังเคลื่อนที่ในพลังงานศักยพาราโบล่า  ฟังก็ชันคลื่นที่แสดงมีค่าเป็นศูนย์ตรงกับระดับพลังงาน จะเห็นว่า "ขนาดกล่องที่ยังผล (effective box size)" ใหญ่กว่า   และสถานะก็สูงขึ้น นั้นฟังก์ชั่นคลื่นทะลุทะลวงผ่านบริเวณต้องห้ามในทางคลาสสิกในแนวทางที่คล้ายคลึงกับขั้นบันไดพลังงานดังแสดง
ในรูป 2.6 a


อะตอมไฮโดรเจน

อะตอมที่ง่ายที่สุดคือธาตุไฮโดรเจน ซึ่งประกอบด้วยอิเคลตรอนอนุภาคประจุลบเดียวที่มี  อยู่ภายใต้อิทธิพลของนิวเคลียสที่มีประจุบวกโดยแรงไฟฟ้าสถิต ซึ่งจะมีค่ามากเมื่ออิเลคตรอนเข้าใกล้นิวเคลียส และลดความเข้มข้นลงเมื่ออยู่ห่างจากนิวเคลียสมากขึ้น  ด้วยผลดังกล่าวพลังงานศักย์จะมีค่ามากและเป็นลบเมื่อเข้าใกล้นิวเคลียส และเข้าใกล้ศูนย์เมื่อเคลื่อนที่ห่างออกจากนิวเคลียส(เทียบเคียงจากรูปที่ 2.9)  ตัวอย่างที่ได้อภิปรายไปแล้วนั้นพิจารณาในหนึ่งมิติทั้งสิ้น หมายความว่าเราได้คิดให้อนุภาคนั้นจำกัดขอบเขตให้เคลื่อนที่ตามทิศทางเฉพาะ (จากซ้้ายไปขวาหรือในทางที่กลับกัน)  อย่างไรก็ตามอะตอม เป็นวัตถุสารที่เป็น 3 มิติ และเราจะมาพิจารณาในความสำคัญในกรณีนี้ก่อนที่เราจะเข้าใจได้ทั้งหมด ลักษะนักสำคัญที่ทำให้ง่ายในกรณีอะตอมไฮโดรเจนก็คือพลังงานศักย์เป็นคูลอมนั้นเป็นสมมาตรทรงกลม นั่นคือจะขึ้นอยู่กับระยะทางระหว่างอิเลคตรอนและนิวเคลียส ไม่ว่าทิศทางของการแยกห่างกันเป็นอย่างไร ผลที่ได้หลายอย่างจากฟังก์ชันคลื่นเกี่ยวพันธ์กับระดับพลังงานที่ยอมให้ได้ก็มีสมมาตรเหมือนกัน เราจะอภิปรายเรื่องนี้ก่อนและกลับไปเรื่องอื่นภายหลัง

คณิตศาสตร์ 2.6

เราได้เห็นแล้วก่อนหน้านี้ ในกรณีที่อนุภาคตัวหนึ่งในกล่อง ระดับพลังงานเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว ขณะที่เราติดตามเป็นขั้นบันได โดยมีค่าดังนี้

            E_n = h²n²/8mL²

                
เมื่อ L คือขนาดของกล่อง  เห็นได้ชัดจากสูตรตามสมการนี้ และแสดงไว้ในรูปที่ 2.5  ช่วงว่างระหว่างระดับพลังงานที่มีลำดับต่อกัน ยิ่งช่วงห่างมาก ระดับพลังงานเหล่านี้ก็ยิ่งมีค่าสูง

        ในกรณีของออสซิลเลเตอร์ พลังงานศักย์อยู่ในรูปของ

                    V = kx²

เมื่อ k เป็นค่าคงที่   ช่วงกว้างที่เข้าครองโดยคลื่น ดังนั้นขนาดมากขึ้นตามพลังงานที่เพิ่มขึ้น ดังที่แสดงในภาพ 2.8 เราสามารถที่จะเปรียบเทียบโดยประมาณกับอนุภาคในกล่อง โดยคิดให้ขนาดที่ให้ผลของกล่องก็คือความกว้างของฟังก์ชันคลื่น และขนาดโตกว่าสำหรับที่ระดับพลังงานสูงกว่า  เมื่อนำทุกอย่างเข้าด้วยกันเราสามารถทำนายได้วาช่องว่างระหว่างระดับพลังงานออสซิลเลเตอร์จะเพิ่มขึ้นเร็วน้อยลงที่พลังงานสูงกว่าเมื่อคิดในกล่อง  การทำนายนี้ได้รับการสนับสนุนเมื่อคำนวณระดับพลังงานของออสซิลเลเตอร์โดยการแก้สมการชเรอดิงเงอร์ ซึ่งได้ผลเป็นค่าคู่ ชุดของระดับพลังงานของตัวออสซิลเตอร์ นิพจน์ที่ใช้คำนวณจริงคือ

         En  =  (n +1/2)hf

เมื่อ f คือความถี่คลาสสิกของออสซิลเลเตอร์ และ  n เป็นจำนวนเต็มบวก หรือ ศูนย์

รูปที่ 2.9 อะตอมไฮโดรเจน ไดอะแกรมแสดงพลังงานศักย์ พร้อมด้วย 4 ระดับพลังงานต่ำสุด และฟังก์ชันคลื่นที่สอดคล้องตรงกันที่ต่ำสุด  ฟังก์ชันคลื่นได้วาดให้เห็นที่เป็นศูนย์ตรงกับระดับพลังงาน  จะเห็นว่าที่พลังงานเป็นศูนย์ตรงกับเส้นบนสุดในไดอะแกรม

พลังงานศักย์คูลอมจำกัดขอบเขตอิเลคตรอนอยู่ในบริเวณอิทธิพลของนิวเคลียสเหมือนกันมากกับกรณีของกล่อง และพลังงานศักย์ออสซิลเลเตอร์จำกัดเขตอนุภาคตามการอภิปรายในตัวอย่าง  เราเห็นถึงความกว้างของกล่องที่ส่งผลในกรณีของออสซิลเลเตอร์ที่สถานะสูงกว่าที่พลังงานสูงกว่า ในทางกลับกันหมายความว่าพลังงานที่สถานะสูงขึ้นไม่ได้เพิ่มขึ้นเร็วเท่ากับในกรณีของกล่องสีเหลี่ยม ถ้าเราเปรียบเทียบรูปร่างของพลังงานศักย์คูลอมบ์ในรูปที่ 2.9  กับออสซิลเลเตอร์ดังในรูปที่ 2.8 เราเห็นได้ว่าความกว้างพลังงานศักย์เพิ่มขึ้นเร็วกว่าด้วยพลังงานในกรณีคูลอมบ์  ประยุกต์ใช้การให้เหตุผลเดียวกันในกรณีออสซิลเลเตอร์ เราควรจะคาดหวังได้ถึงระดับพลังงานที่เพิ่มขึ้นช้ากว่าขณะที่เราไปตามขั้นบันไดพลังงาน  ในความเป็นจริงเกิดอะไรขึ้นกับระดับพลังงานที่่ปรากฏออกมาเป็น -R, -R/4, -R/9, -R/16  เมื่อ R เป็นตัวคงที่ที่เรียกว่า ตัวคงที่ Rhydberg ตามชื่อนักวิทยาศาสตร์ชาวสวีเดนผู้ศึกษาเกี่ยวกับสเป็กตรัมของอะตอมช่วงตอนปลายศตวรรษที่ 19 จากระดับศูนย์ที่ตรงกับอิเลคตรอนและนิวเคลียสที่อยู่ห่างไกลกันมาก

เมื่ออะตอมหนึ่งเคลื่อนจากระดับพลังงานหนึ่งไปยังอีกระดับหนึ่ง พลังงานที่ถูกดูดกลืนหรือปลดปล่อยออกมาในรูปการแผ่รังสีของโฟตอน โดยความถี่สัมพันธ์กับพลังงานที่เปลี่ยนแปลงตามความสัมพันธ์ของพลั้ง รูปแบบของความถี่ที่คำนวณได้ในแนวทางนี้จากรูปแบบระดับพลังงานดังกล่าว เหมือนกับที่สังเกตได้จากการทดลองให้ไฟฟ้าดิสชาร์ตผ่านไปในแกสไฮโดรเจน ผลเฉลยเต็มรูปจากสมการชเรอดิงเงอร์ทำทายค่าคงที่ R ในเทอมของประจุและอิเลคตรอนและตัวคงที่ของพลั้ง และค่าเหล่านี้เป็นไปตามที่หาได้จากการวัดในการทดลอง ในเรื่องนี้จะอภิปรายในรายละเอียดอีกครั้งในคณิตศาสตร์ 2.7  ในตอนนี้เราได้ข้อเห็นพ้องกันสมบูรณ์ระหว่างการทำนายของฟิสิกส์ควอนตัมและการวัดจากการทดลองของระดับพลังงานของอะตอมไฮโดรเจน

เราได้ใช้หลักการคู่คลื่นอนุภาคเพื่อหาระดับพลังงานควอนไตซ์ แต่เราจะตีความฟังก์ชันคลื่นที่เกี่ยวพันธ์กับแต่ละระดับพลังงานได้อย่างไร คำตอบของคำถามนี้อยู่ในหลักของบอร์น (Born rule) ที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ว่า กำลังสองของฟังก์ชันคลื่นที่จุดใดๆแสดงถึงความน่าจะเป็นของการพบอิเลคตรอนใกล้จุดนั้น  แบบจำลองอะตอมสอดคล้องตามนี้ื ในบริบทนี้ อิเลคตรอนควรคิดว่า ไม่ใช่เป็นจุดอนุภาคแต่เป็น การกระจายขยายไปทั่วปริมาตรของอะตอม เราสามารถที่มองภาพอะตอมเป็นนิวเคลียสประจุบวกที่ห้อมล้อมด้วยกลุ่มหมอกประจุลบ ที่ความเข้มข้นที่จุดใดๆเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของฟังก์ชันคลื่นที่จุดนั้น แบบจำลองแบบนี้ใช้ได้ดีในหลายสถานะการณ์  แต่ไม่ความใช้ตรงไปตรงมาตามตัวอักษรมากเกินไป ถ้าเรามองหาอิเลคตรอนในอะตอมจริง เราจะพบได้เป็นจุดอนุภาคเสมอ ในอีกทางหนึ่งก็เป็นการผิดพลาดที่คิดให้อิเลคตรอนเป็นจุดอนุภาคเมื่อเราไม่ได้กำลังสังเกตตำแหน่งของมัน  ในทางฟิสิกส์ควอนตัมเราใช้แบบจำลองแต่ไม่ได้ตีความตรงไปตรงมามากเกินไป  จะกลับมากล่าวถึงเรื่องนี้อีกครั้งในบทที่ 8

คณิตศาสตร์ 2.7 

ระดับพลังงานอะตอมไฮโดรเจน สามารถเขียนอยู่ในรูปสมการทั่วไปได้คือ

          En  =  -R/n²

เมื่อ n คือจำนวนเต็ม และ R  คือค่าคงที่  นิพจน์สำหรับ R ในเทอมของตัวคงที่พลั้ง(h), มวล(m) และประจุ(e) ของอิเลคตรอน และตัวคงที่จากพลังงานศักย์คูลอมบ์ (k; ดูคณิตศาสตร์ 1.3) ซึ่งหาค่า R นี้ได้จากการแก้สมการชเรอดิงเงอร์ ซึ่งได้ผลคือ

   

         R  =  2π²k² me⁴/h²

ใช้ปริมาณตัวที่รู้ค่าแล้วทางขวาของสมการ ( k = 9.0 x 10^9 JmC^-2; m = 9.1 x 10^-31Kg; e = 1.6 x 10^-19C; h = 6.6 x 10^-34Js)  จะได้ค่า  R = 2.2 x 10^-18 J.

รูปแบบของระดับพลังงานแสดงไว้ดังในรูป 2.9 ซึ่งแสดงรูปแบบของฟังก์ชันคลื่นสำหรับ 3 สถานะต่ำสุด เราไม่ควรจะประหลาดใจที่เห็นว่ามันสั่่นแก่วงหรือออสซิลเลท จำนวน humps เพื่อขึ้นตามพลังงานที่เพิ่มขึ้น แม้ว่ารูปร่างและขนาดของ hump เปลี่ยนแปลงไปมากกว่าในกรณี อิเลคตรอนในกล่อง

ตอนนี้เราอยู่ในตำแหน่งทีเปรียบเทียบกับระดับพลังงานที่ทำนายเหล่านี้ กับ จากการทดลอง  จากที่พลังงานของโฟตอนจากการดูดกลืนและปลดปล่อยเมื่ออะตอมดำเนินการเปลี่ยนระดับพลังงานจากสถานะหนึ่งไปยังอีกสถานะหนึ่ง ก็เป็นเพียงความแตกต่างระหว่างสถานะพลังงานเหล่านี้ และใช้ความสัมพันธ์ของพลั้งแล้วจะได้

         f_mn =(R/m²  -R/n²)

เมื่อ fm,n คือความถี่ของโฟตอนที่เกี่ยวเนื่องกับการเปลี่ยนระดับสถานะพลังงาน En  และ Em ดังตัวอย่างเช่น

         f1,2 = 3R/4h;    f1,3 = 8R/9h;    f2,3 = 5R/36h

คำนวณหาความยาวคลื่นที่เกี่ยวเนื่อง จากความถี่ในแนวทางปกติ โดยกำหนด (ที่ c เป็นอัตราเร็วแสง = 3.0 x 10^8 m/s)

          I1,2 = 4ch/R;  I1,3 = 9ch/8R;  I2,3 = 36ch/5R

อีกครั้งหนึ่งแทนค่าตัวเลขเข้าไปแล้วจะได้

          I1,2 = 1.2x 10^-7 m ;  I 1,3 = 1.0 x 10^-7m;  I2,3 = 65 x 10^-7 m

ความสอดคล้องกับค่าที่วัดได้จากการทดลองจากการเฝ้าสังเกตแสงที่ถูกดูดกลืนและปลดปล่อยออกมาจากอะตอมไฮโดรเจน  ยิ่งกว่านั้นยังเป็นจริงเมื่อปริมาณที่คำนวณได้โดยใช้ค่าที่มีความละเอียดเท่าที่ทำได้สำหรับตัวคงที่ทางกายภาพ ซึ่งปกติแล้วมีความละเอียดถึงตำแหน่งทศนิยมที่ 8 หรือ 9