ควานตัม นำ

สองเรื่องที่เป็นเสาหลักไดัรับผลสำเร็จในรอบร้อยปีที่ผ่านมา  คือทฤษฎีควอนตัมที่ให้ภาพของอะตอมและองค์ประกอบของมัน และอีกเรื่องคือทฤษฏีสัมพันธภาพทั่วไปที่ให้ภาพของสเปสซ์และความโน้มถ่วง 
    ระหว่างสองเสาหลักดังกล่าวอธิบายทุกอย่างเกี่ยวกับโลกและตัวเรา กล่าวได้ว่าทฤษฏีควอนตัมได้สร้างสรรค์โลกยุคใหม่ไม่เพียงแต่อธิบายตั้งที่ ทำไมพื้นที่เราเหยียบเป็นของแข็ง ทำไมดวงอาทิตย์ส่องแสง  และยังทำให้เป็นไปได้ที่คอมพิวเตอร์และแสงเลเซอร์ เตาปฏิกรปรมาณูมาใช้ประโยชน์  ส่วนสัมพันธ์ภาพอาจไม่มีการใช้ทั่วไปทุกที่ในโลกชีวิตประจำวัน  แต่ในเรื่องนี้บ่งบอกเราถึงเรื่องหลุมดำซึ่งไม่มีอะไรแม้แต่แสงที่จะเล็ดลอดออกมาจากหลุมดำได้  นั่นกล่าวได้ว่าจักรวาลจะไม่คงที่อีกต่อไป แต่จะเกิดขึ้นในการระเบิดใหญ่ที่เรียกว่า Big Bang และเครื่องจักรเวลาที่มีความเป็นไปได้สูง

ควอนตัม

คำถามท่เจาะลึกลงไป เกี่ยวกับธรรมชาติของความจริงแท้  ที่มุ่งเน้นในประเด็นความเห็นแย้งทางปรัชญา ระหว่าง Niels Bohr และ Albert Einstein ยังคงปรากฏอยู่ในฟิสิกส์ปัจจุบัน

สรุปวิธีการกลไกของกลศาสตร์ควอนตัม

วิธีการและกลไกของกลศาสตร์ควอนตัม พื้นฐานแรกสุดนั้น คิดให้อนุภาคเป็นคลื่นและขยายขอบเขตไปยังวัตถุอื่นๆ เป็นแนววิธีที่ชเรอดิงเงอร์พัฒนาขชึ้น ได้กำหนดสัจพจน์ฟังก์ชันคลื่นแทนสถานะต่างๆ ของอนุภาค สัจพจน์ตัวดำเนินการที่เทียบเคียงกับค่าต่างๆ จากฟิสิกส์คลาสสิก สัจพจน์กับค่าเฉพาะ ซึ่งเมื่อตัวดำเนินการกระทำกับฟังก์ชันใดแล้วให้ผลเป็นค่าคงที่คูณกับฟังก์ชันเดิม และสัจพจน์ที่กำหนดให้ฟังก์ชันคลื่นเป็นผลเฉลยที่ต้องการ ซึ่งสามารถแก้หาค่าได้จากสมการชเรอดิงเงอร์ซึ่งเขียนอยู่ในรูป

Hᕿ = Eᕿ   ผลเฉลยของฟังก์ชันคลื่นที่หาได้ สามารถนำมาคำนวณหาความน่าจะเป็ฯ ค่าคาดหมาย ในการที่จะหาตำแหน่งของอนุภาค

ลิงค์ควอนตัม

การคิดเชิงควอนตัม

การทำความเข้าใจสิ่งที่เห็นรอบตัวเราต้องการความรู้บางอย่างของกลศาสตร์ควอนตัม
     เราอาศัยอยู่ในทะเลของปรากฏการณ์ทางกายภาพ ที่มากระทบเราเหมือนกับคลื่นทะเลมหาสมุทรที่อยู่โดยรอบ โลกที่อยู่รอบตัวเราจะยิ่งเป็นสถานที่น่าสนใจเมื่อเรามีความซาบซึ้งกับธรรมชาติของสารรอบตัวเรา จากโมเลกุลทางชีวะ ไปสู่การนำไฟฟ้า โลกธรรมชาติที่มาจากปรากฏการณ์ทางควอนตัม ถ้าเราล่องลอยอยู่ในทะเลมหาสมุทรของฟิสิกส์ควอนตัม แล้วความรู้บางอย่างทางทฤษฎีควอนตัมเพิ่มความซาบซึ้งให้เราสำหรับความพิศวงของโลกธรรมชาติ และเหนือสิ่งอื่นใดเป็นการสร้างเสริมภูมิปัญญา

สีคือปรากฏการณ์ทางควอนตัม
     อะไรที่ทำให้วัตถุต่างๆ มีสี อะไรที่ทำให้สิ่งที่มีสีแตกต่างจากสิ่งที่มีสีอื่นๆ คำตอบก็คือสสารประกอบด้วยอะตอมและโมเลกุลที่มีพลังงานไม่ต่อเนื่อง ต่างจากพลังงานคลาสสิกที่ต่อเนื่อง แสงมีพลังงานแบบกลุ่มก้อนไม่ต่อเนื่องที่เรียกว่าโฟตอน  โฟตอนมีพลังงานเฉพาะค่าหนึ่ง ซึ่งหมายถึงการมีสีเฉพาะหนึ่งด้วย เพราะว่าพลังงานต้องคงตัว โฟตอนถูกดูดกลืนโดยอะตอมและโมเลกุลที่รวมเป็นสารถ้าพลังงานโฟตอนตรงกับความแตกต่างของพลังงานระหว่าระดับพลังงานควอนตัมอะตอมหรือโมเลกุลสองระดับ  ถ้าพลังงานตรงกันโฟตอนถูกดูดกลืน และระบบเกิดการเปลี่ยนระดับจากระดับต่ำไปยังระดับพลังงานที่สูงกว่า  โฟตอนที่พลังงานไม่ตรงกับระดับพลังงานที่แตกต่างกันจะสะท้อนจากวัตถุนั้น ดังนั้นถ้าช่วงระดับพลังงานของโมเลกุลถ้าแสงสีแดงถูกดูดกลืนไว้แสงสีน้ำเงินก็จะสะท้อนออกมา และวัตถุนั้นจะมองเห็นเป็นสีน้ำเงิน  และถ้าระดับพลังงานที่แตกต่างเป็นแสงสีน้ำเงินที่ถูกดูดกลืนไว้ แล้วแสงสีแดงจะสะท้อนออกมาแล้ววัตถุนั้นก็จะมีสีแดง

ระดับพลังงานและสีมาจากธรรมชาติการเป็นคลื่นของอนุภาค
     การเพิ่มเติมเกี่ยวกับสีของวัตถุในรายละเอียดมากขึ้น ตามที่ได้กล่าวถึงอนุภาคในกล่อง 1 มิติ เราได้เรียนรู้ว่าอนุภาคที่เล็กจริง ไม่ใช่อนุภาคตามความเข้าใจในชีวิตประจำวัน  โดยปกติแล้วคิดให้เป็นคลื่นหรือชุดคลื่น (wave and wave packets) ในสเปสซื สำหรับอนุภาคในกล่องเฉพาะคลื่นรูปแบบชัดเจนที่ยอมให้มีได้  ในระบบ 3 มิติเช่นอะตอมไฮโดรเจนที่กล่าวถึงมาแล้ว รูปร่างของคลื่นมีความซ้บซ้อนแต่เฉพาะรูปแบบที่เรียกว่าออร์บิทัล (orbital) สามารถมีอยู่ได้ และเป็นจริงในกรณีอะตอมโมเลกุลที่ใหญ่ขึ้น คลื่นอิเลคตรอนของโมลกุลก็อธิบายเป็นออร์บิทัลโมเลกุล คลื่นอิเลคตรอนตามที่กับด้วยฟังก์ชันคลื่นในอะตอมและโมเลกุลเกี่ยวเนื่องสัมพันธ์กับระดับพลังงานที่กำหนดค่าพลังงานไว้อย่างดี ที่เรากล่าวว่าพลังงานควอนไตซ์ พลังงานเปลี่ยนไปตามขั้นที่เต็มหน่วย ระดับพลังงานควอนตัมน้เป็นส่วนหลักที่ต่างไปจากกลศาสตร์คลาสสิก ซึ่งพลังงานเปลี่ยนไปแบบต่อเนื่อง

เราแก้ปัญหาอนุภาคควอนตัมในกล่องและพบว่าระดับพลังงานขึ้นอยู่กับขนาดของกล่อง ยิ่งกล่องมีขนาดใหญ่ (โมเลกุลขนาดใหญ่)มีช่วงระดับพลังงานใกล้ชิดกันมากกว่ากล่องขนาดเล็ก  ผลที่นำไปประยุกต์ใช้กับโมเลกุลจริงๆและอนุภาคในกล่อง นั้นคืออนุภาคในกล่องมักจะดูดกลืนแสง ในส่วนสีแดงของสเป็กตรัม แสงสีแดงเป็นแสงพลังงานต่ำ  สำหรับโมเลกุลขนาดใหญ่ความแตกต่างพลังงานระหว่างระดับพลังงานค่อนข้างน้อย  โมเลกุลขนาดเล็กดูดกลืนแสงสีฟ้าเพราะว่าพลังงานที่แตกต่างระหว่างระดับพลังงานมีมากกว่าแสงสีแดง โมเลกุลขนาดเล็กเช่นเบนซิน (benzene) ดูดกลืนแสงอุลตราไวโอเลตในสเป็กตรัม จึงไม่ดูดกลืนแสงที่ทำให้มองเห็น ผลึกของโมเลกุลขนาดเล็กเช่นเนปทาลีน (naphthalene หรือ mothball) มองเห็นเป็นสีขาวเพราะว่าไม่มีส่วนใดของแสงสีขาวที่สามารถดูดกลืนไว้ได้ ระดับพลังงานมีช่วงกว้างมากเกินไปที่จะดูดกลืนแสงที่ทำให้มองเห็นไว้ได้ แสงที่ทำให้มองเห็นจึงสะท้อนออกมาให้เห็นจากผลึกทำให้มองเห็นเป็นสีขาว นี่ก็เป็นเหตุผลว่าผลึกเกลือทั้งหลายจึงมีสีขาว เช่นเดียวกันทำไมน้ำตาลจึงมีสีขาว ทั้งเกลือและน้ำตาลล้วนมีช่วงระดับพลังงานที่กว้างมากที่ดูดกลืนแสงอุลตราไวโอเลตแต่ปล่อยแสงที่ทำให้มองเห็นออกมา

ปรากฏการณ์ควอนตัมยึดอะตอมไว้ด้วยกันเป็นโมเลกุลและหารูปร่างการรวมเป็นโมเลกุล
     การยึดรวมอะตอมเป็นโมเลกุลอะไรที่ทำให้โมเลกุลมีรูปร่างต่างๆ กัน ทำไมรายละเอียดของรูปร่างจึงสำคัญ เราได้เห็นแล้วว่าคลื่นอิเลคตรอนของอะตอมรวมกันก่อให้เกิดเป็นออร์บิทัลโมเลกุล ที่ใช้อิเลคตรอนร่วมกันอะตอมในออร์บิทัลโมเลกุลสามารถให้ผลเป็นพันธะทางเคมีที่ยึดอะตอมไว้เกิดเป็นโมเลกุล ที่แล้วมาได้เรียนรู้ออร์บิทัลโมเลกุลในรายละเอียดบางส่วน เราเรียนรู้ว่าออร์บิทัลโมเลกุลมาใน 2 รูปแบบ คือ bonding และ antibonding  โดยประมาณการการจัดวางอิเลคตรอนในระดับพลังงานออร์บิทัลโมเลกุลอย่างง่าย ดูได้จากไดอะแกรม ในโมเลกุลไฮโดรเจน อีิเลคตอนทั้งสองจาก 2 อะตอมไฮโดรเจนเข้าสู่พลังงานออร์บิทัลโมเลกุลต่ำสุด พันธะเคมี MO ให้ผลเป็นพันธะแบบโควาเลนซ์ ซึ่งอะตอมแชร์คู่ของอิเลคตรอน อย่างไรก็ตามด้วยการพิจารณาแบบเดียวกันทำให้เราเห็นได้ว่าทำไมโมเลกุลไดอะตอมฮีเลี่ยมจึงมีไม่ได้ แต่ละอะตอมฮีเลี่ยมมีส่วนใน 2 อิเลคตรอนตามโมเลกุลฮีเลี่ยม 2 อะตอมทางทฤษฏี โดยสองตัวแรกไปอยู่เป็นพันธะเคมี MO แต่เพราะว่าหลักการยกเว็นของพอลลิ (Pauli Exclusion Principle) อิเลคตรอนอีกสองตัวต่อไปจะต้องไปสู่ต้านพันธะเคมี (anti bonding) MO  ผลที่ได้ไม่มีพันธะเคมีลัพธ์ และ โมเลกุล He2 ไม่มีอยู่ให้เห็น พันธะเคมีแบบโควาเลนซ์จึงเป็นปรากฏการณ์ควอนตัมประจำตัวภายในที่ไม่มีคำอธิบายใดจากกลศาสตร์คลาสสิก

     สำหรับอะตอมขนาดใหญ่กว่าไฮโดรเจน การรวมกันออร์บิทัลอะตอมที่ต่างกันชั้น s และ ก่อให้เกิดออร์บิทัลแบบไฮบริดจ์ ด้วยรูปร่างต่างๆ กัน การรวมออร์บิทัลไฮบริดจ์อะตอมที่รูปร่างแตกต่างกัน เพื่อให้เกิดออร์บิทัลโมเลกุลรับผิดชอบต่อชนิดการเกิดพันธะเคมีที่เกิดขึ้น (1เดี่ยว, 2คู่, 3 ไตร) และรูปร่างของโมเลกุล เราให้ความสนใจกับโมเลกุลแบบอินทรีย์ ซึ่งเป็นโมเลกุลที่ก่อตัวจากคาร์บอน ไฮโดรเจน ออกซึ่งเจนเป็นหลักและอะตอมอื่นหลายอย่าง โมเลกุลอินทรีย์เป็นสิ่งสำคัญเพราะเป็นรากฐานของชีวิต และสารอื่นบางอย่างเช่นปล๊าสติก และพบว่าชนิดของพันธะเคมีเป็นสิ่งสำคัญ  โมเลกุลหนึงๆ สามารถพร้อมที่จะหมุนไปรอบพันธะเดี่ยว คาร์บอน-คาร์บอน การเปลี่ยนรูปร่างโมเลกุล แต่โมเลกุลไม่สามารถหมุนรอบ พันธะคู่ ค่าร์บอน-คาร์บอน การไม่สามารถของโมเลกุลอินทรีย์ในการหนุนรอบพันธะคู่ คาร์บอน-คาร์บอนเป็นเรื่องหลักเฉพาะทางชีววิทยา

จากที่ได้มีการกล่าวถึงเรืื่องไขมัน (fats) พันธะเคมีคู่ทำให้เกิดความแตกต่างทั้งหมด ไขมันด่วยพันธะเคมีคู่ไม่สามารถเปลี่ยนรูปร่างรอบพันธะเคมีคู่  ไขมัน polyunsaturated ที่ไม่อิ่มตัว  มีพันธะเคมีคู่หลายคู่ ไขมันที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติทั้งหมด นอกจากที่มีพันธ์เคมีคู่ cis หมายความว่าโมเลกุลไขมันถูกทำให้โค้งที่พันธะเคมีคู่ อย่างไรก็ตาม กระบวนการทางเคมีของไขมัน polyunsatuated  ที่สร้าง ไขมัน monounsaturated ที่ทำให้เกิดพันธะเคมีคู่แบบทราน (trans double bonds) ไขมันที่มีพันธ์เคมีคู่แบบทราน เรียกสั้นๆว่า ไขมันทราน (trans fats)  โมเลกุลไขมันทรานมีสภาพตรงที่พันธะเคมีคู่แบบทรานมากกว่าเป็นสภาพที่โค้ง ด้วยความแตกต่างของรูปร่างนี้ ซึ่งก่อให้เกิดจากคุณสมบัติของพันธะเคมีคู่แบบโควาเลนซ์มีอิทธิพลที่ส่งผลต่อกิจกรรมทางชีวะเชิงโมเลกุล  ไขมันทรานมีความเชื่อมโยงกับผลลบต่อสุขภาพของมนุษย์

รูปร่างโมเลกุลทางชีวะเช่นโปรตีนเป็นเรื่องหลักทางชีววิทยา รูปร่างของโมเลกุลถูกควบคุมด้วยกลไกอันตกิริยาทางควอนตัมระหว่างอะตอมที่ก่อตัวเป็นออร์บิทัลโมเลกุลชนิดที่แตกต่างกัน และชนิดของพันธะเคมีที่แตกต่างกัน ดังนั้นกระบวนการของชีวิตจึงถูกควบคุมด้วยกลศาสตร์ควอนตัม

คาร์บอน ไดออกไซด์ คือแกสเรือนกระจก เพราะเป็นผลทางควอนตัม
 เราได้ทราบถึงผลขอภาวะเรือนกระจกที่เกิดแกสคาร์บอนไดออกไซด์ ซึ่งผลักดันให้เกิดการเปลี่ยนแปลงภูมิอากาศไปทั่วโลก  นั้นคือรากฐานกลไกทางควอนตัมในธรรมชาติ  คาร์บอนไอออกไซด์ เป็นเหมือนกับพายุที่สมบูรณ์ผลทางควอนตัมที่ก่อให้เกิดแกสเรือนกระจกที่อันตราย  วัตถุที่ร้อนปลดปล่อยแสงออกมา  ตามที่เราเรียกว่า การแผ่รังสีจากวัตถุดำ ซึ่งสีที่ปลดปล่อยออกจากวัตถุร้อนไม่สามารถอธิบายได้จากทฤษฎีคลาสสิก อันเป็นจุดผลิกผันที่เรียกว่า Ultraviolet catastrophe เพราะว่าทฤษฎีทำนายว่าจำนวนพลังงานไม่จำกัดถูกปลดปล่อยออกมาในส่วนรังสีอุลตราไวโอเลตของสเป็กตรัมโดยวัตถุร้อนใดๆ  เป็นที่ชัดแจ้งว่าวัตถุที่ร้อนไม่ได้ให้รังสีพลังงานที่ไม่จำกัด ทำให้ทฤษฎีคลาสสิกล้มเหลวในการอธิบาย  ในเรื่องนี้ ตั้งแต่ปี 1900 พลั้งได้ใช้แนวคิดที่ระดับพลังงานควอนไตซ์สำหรับอิเลคตรอนของสารมาอธิบายการแผ่รังสีวัตถุดำ โดยสามารถหาสูตรสำหรับสีที่ปลดปล่อยออกจากวัตถุร้อนที่สอดคล้องกับการทดลองอย่างดี ยิ่งวัตถุร้อนมากขึ้น วัตถุนั้นก็จะปลดปล่อยโฟตอนที่มีพลังงานมากขึ้น  อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีควอนตัมของพลั้งแสดงให้เห็นว่าจำนวนของพลังงานนั้นจำกัดและบอกให้ทราบได้่ชัดเจนว่ามีพลังงานแสงเท่าใดที่แต่ละสี  ดาวฤกษ์ต่างๆ นั้นร้อนมากดังนั้น ดาวดังกล่าวปลดปล่อยแสงที่ทำให้มองเห็นและอุลตราไวโอเล็ตตามสเป็กตรัม ตัวอย่างหนึ่งของสเป็กตรัมจากวัตถุดำจากดวงอาทิตย์แสดงดังในรูปดวงอาทิตย์เป็นดาวขนาดกลาง ที่สีที่ปล่อยออกมาค่อนข้างเหลือง ดาวที่ร้อยมากๆ จะมีสีฟ้า ดาวที่ร้อนน้อยกว่าดวงอาทิตย์จะมีสีแดงเป็นต้น

โลกเราปลดปล่อยรังสีของวัตถุดำ แต่เพราะว่าเย็นกว่าเมื่อเทียบกับดาวฤกษ์ จึงไม่สามารถมองเห็นแสงที่โลกเราปลดปล่อยออกไปด้วยตาเปล่า สเป็กตรัมที่ปล่อยจากโลกที่คิดให้เป็นวัตถุดำตามรูป

จากรูปสเป็กตรัมที่คำนวณได้ของวัตถุดำโลกสำหรับที่ 3 อุณหภูมิ (เส้นหนัก) บริเวณระบายสีแสดงส่วนของสเป็กตรัมที่ถูกดูดกลืนด้วยน้ำและคาร์บอนไดออกไซด์ในบรรยากาศ ตอนกลางและด้านล่างสเป็กตรัมของการดูดกลืนด้วยคาร์บอนไอออกไซด์และน้ำในช่วงของ 0 ถึง 1000 cm^-1  หมายเหตุ มาตรวัดแตกต่างจากส่วนบทของรูป

แสงที่ปลดปล่อยจากการแผ่รังสีวัตถุดำโลกคือแสงอินฟาเรด ความยาวคลื่นมากพลังงานต่ำในส่วนของสเป็กตรัม ถ้าไม่มีบรรยากาศการปล่อยรังสีของโลกจะออกไปสู่อวกาศ และทำให้โลกเราเย็นลงมากกว่านี้ บางทีอาจจะเย็นเกินกว่าที่มนุษย์จะอาศัยอยู่ได้ อย่างไรก็ตามบรรยากาศของโลกดูดกลืนรังสีบางส่วนที่โลกปลดปล่อยออกไป กักเก็บความร้อนไว้แล้วทำให้โลกเราอบอุ่น ความร้อนเกือบทั้งหมดที่กักเก็บไว้โดยน้ำ ซึ่งมีระดับพลังงานการหมุนที่ควอนไตซ์  นำไปสู่การทำให้เกิดการเปลี่ยนระดับพลังงานของรังสีอินฟาเรดระยะไกล(ความยาวคลื่นมากหรือพลังงานต่ำ เรายังไม่ได้กล่าวถึงการหมุนที่ควอนไตซ์มาก่อน ต่อไปสภาพการเป็นควอนตัมเข้ามาเกี่ยวข้องสัมพันธ์ตามที่รู้ได้
      เราได้กล่าวถึงระดับพลังงานอิเลคตรอนที่ควอนไตซ์ และระดับพลังงานการสั่นที่ควอนไตซ์    วัตถุแบบคลาสสิกสามารถที่จะหมุน เช่นลูกข่าง  ระดับพลังงานแบบคลาสสิกเกี่ยวเนื่องสัมพันธ์กับการหมุนเป็นแบบต่อเนื่อง ขณะมีการหมุนควงก็มีการหมุนรอบตัวเอง (สปิน) ถ้าทำให้หมุนสปินเร็วขึ้นอีกเล็กน้อย พลังงานก็เพิ่มขึ้นเล็กน้อย  เมื่อเทียบเคียงกับโมเลกุลของสถานะแกสเช่นไอน้ำในอากาศสามารถที่จะหมุนตัว และเนื่องจากโมเลกุลน้ำนั้นเล็กมากพลังงานการหมุนที่ควอนไตซ์ พลังงานการหมุนสามารถเปลี่ยนได้ในช่วงเฉพาะหนึ่งเท่านั้น โมเลกุลของน้ำสามารถหมุนได้ที่อัตราเร็วหนึ่ง แล้วจะมีขั้นช่วงเฉพาะไปที่อีกอัตราเร็วหนึ่ง แต่ไม่สามารถหมุนที่อัตราเร็วที่อยู่ระหว่างอัตราเร็วทั้งสองดังกล่าว  ให้คิดในเรื่องนี้ดูว่าจะเป็นอย่างไรถ้านำไปประยุกต์ใช้กับระบบควาสสิกขนาดใหญ่  ดังเช่นปั่นจักรยาน เราถีบจักรยานด้วยด้วยอัตราเร็ซหนึ่ง เราไม่สามารถที่จะถีบจักรยานให้เร็วขึ้นเล็กน้อย เราจำต้องถีบให้เร็วขึ้นไปยังอัตราเร็วถัดไปตามระดับพลังงานการเหมุนที่ควอนไตซ์

น้ำไม่ได้ดูดกลืนการแผ่รังสีของวัตถุดำโลกที่ปลดปล่อยออกมา แต่คาร์บอนไดออกไซด์จะดูดกลืนรังสีที่แผ่ออกมา ตามที่ได้กล่าวถึงมาแล้วว่าโมเลกุลมีระดับพลังงานสั่นแกว่งที่ควอนไตซ์ โดยที่คาร์บอนไดออกไซด์ประกอบด้วย 3 อะตอม มีธาตุคาร์บอนอยู่กลาง เป็นโมเลกุลเชิงเส้นที่เข้าสู่สภาพสั่นแกว่งโค้งงอได้  การเคลื่อนที่แบบสั่นแกว่งมีระดับพลังงานที่ควอนไตซ์  โดยสภาพที่ปรากฏ  พลังงานที่แตกต่างจากระดับพลังงาน ระหว่างสองระดับพลังงาน การสั่นแก่วงโค้งงอของCO2 ตรงกับพลังงานการแผ่รังสีแสงวัตถุดำของโลกในส่วนที่มีค่ามากส่วนพีคซ์  ดังนั้นโมเลกุล CO2 ในอากาศดูดกลืนรังสีจากวัตถุดำโลกอย่างมีนัยสำคัญของการแผ่รังสีจากโลก นอกจากนี้แล้วพลังงานการแผ่รังสีออกไปนอกโลก  นั้นคือยิ่งมี CO2ในอากาศ มากเท่าใด การแผ่รังสีออกไปนอกโลกก็น้อยลง ผลก็คือจำนวน CO2 ในอากาศเพิ่มมากขึ้น ยิ่งทำให้มีความร้อนกักเก็บไว้ที่บรรยากาศของโลก ทำให้โลกเราอุ่นขึ้น CO2 จึงเป็นแกสเรือนกระจกที่อันตราย เป็นไปตามปรากฏการณ์ทางควอนตัม 2 อย่างที่อธิบายการแผ่รังสีจากวัตถุดำโลก และระดับพลังงานการสั่นแกว่งที่ควอนไตซ์

การประยุกต์ใช้งานควอนตัม

https://www.dailynews.co.th/article/249744

ดาวน์โหลดหนังสือควอนตัมที่นี่

บทที่ 1
บทที่ 2
บทที่ 3

สมการชเรอดิงเงอร์

สมการและความสัมพันธ์กับสูตรของเดอบรอย
            สมการชเรอดิงเงอร์ สำหรับอนุภาคหนึ่งที่เคลื่อนที่ใน 1 มิติคือ

            ในการใช้สัญลักษณ์ ที่เรียกว่า ‘h-cross’ ในหลายประการที่เป็นทั่วไปมากกว่า h  อักษรกรีก psi ปกติแล้วใช้แทนฟังก์ชั่นคลื่น (wavefunction)  โดยที่ h คือค่าคงที่ของพลั้ง  V เป็นพลังงานศักย์ของอนุภาค ซึ่งเปลี่ยนไปตามตำแหน่งตามสมการที่ 2.10   E เป็นพลังงานรวม คงตัวไม่เป็นฟังก์ชันของตำแหน่ง  ปริมาณใหม่ที่ปรากฏออกมาในสมการชเรอดิงเงอร์คือ ให้ชื่อว่าเป็นฟังก์ชันคลื่น  โดยการแสดงรูปแบบคลื่นทางคณิตศาสตร์ของเดอบรอยที่สัมพันธ์กับอนุภาค
สมการ 2.10

พลังงานเกี่ยวข้องกับควอนตัมอย่างไร ?

แมกซ์ พลังค์ ได้เสนอทฤษฎีควอนตัม (quantum theory) และอธิบายเกี่ยวกับการเปล่งรังสีว่า รังสีแม่เหล็กไฟฟ้าที่เปล่งออกมามีลักษณะเป็นกลุ่มๆ ซึ่งประกอบด้วยหน่วยเล็กๆ เรียกว่า ควอนตัม (quantum) ขนาดของควอนตัมขึ้นกับความถี่ของรังสี และแต่ละควอนตัมมีพลังงาน(E)โดยที่ E เป็นปฏิภาคโดยตรงกับความถี่(u) ดังนี้

E = hu

เมื่อ

• E = พลังงานหนึ่งควอนตัมแสง (J)
• h = ค่าคงที่ของพลังค์ (6.62 x 10-34 Js)
• u = ความถี่ (s-1)

จากทฤษฎีควอนตัมนี้ กลุ่มของอะตอมที่สั่นด้วยความถี่สูงจะเปล่งแสงที่มีพลังงานสูงๆ เท่านั้น ที่อุณหภูมิหนึ่งๆ โอกาสที่จะพบอะตอมที่สั่นสะเทือนด้วยความสูงมากๆ หรือต่ำมากๆนั้นมีน้อย ดังนั้นความเข้ม (ซึ่งขึ้นกับพลังงานและจำนวนอะตอม)ของพวกที่มีความถี่ดังกล่าวจึงน้อยกว่า ซึ่งตรงกับผลการทดลองที่กราฟเส้นโค้งลดลงในบริเวณที่มีความถี่สูงมาก และต่ำมาก(หรือถ้าคิดเป็นความยาวคลื่นก็กลับกัน) นอกจากนี้ แม้อะตอมต่างๆ จะสั่นด้วยความถี่ต่างกัน จะมีความถี่ค่าหนึ่งที่เป็นของอะตอมส่วนใหญ่ ความถี่ค่านี้เพิ่มขึ้นเมื่ออุณหภูมิสูงขึ้น ซึ่งใช้อธิบายการเปลี่ยนจุดสูงสุดของกราฟกับอุณหภูมิได้ 

ประโยชน์จากควอนตัมในรูปของพลังงาน

ตัวเก็บเกี่ยวพลังงาน (Energy Harvester)

      ทุกครั้งที่ขับรถโดยใช้พลังงานจากน้ำมันในการเดินเครื่องยนต์  นอกจากกำลังทางกลที่ได้แล้วยังได้ความร้อนออกมามากอีกด้วย ความร้อนเหล่านี้จะถูกปล่อยให้สูญเสียไปในอากาศ นักวิจัยจำนวนหนึ่งจึงต้องการนำพลังงานความร้อนนั้นกลับมาใช้ประโยชน์ โดยมีการแสดงให้เห็นว่าวัสดุเทอร์โมอิเล็กทริก (Thermoelectric) สามารถเปลี่ยนความร้อนเป็นไฟฟ้าได้ แถมด้วยการประยุกต์ช่วยเก็บความร้อนของแผงเซลล์สุริยะ (solar cell) ให้เป็นไฟฟ้าและช่วยคลายความร้อนของแผงได้อีก โดยวัสดุนี้มีประสิทธิภาพสูงและมีความหนาเพียงแค่ในระดับไมโครเมตร (ไม่มีส่วนที่ต้องขยับหรือเคลื่อนที่และไม่ทำให้เกิดมลพิษ) ก็เป็นอีกหนึ่งเรื่องที่ใช้ควอนตัมอธิบาย ออกแบบ สร้าง แม้ชื่อจะยังไม่มีเข้าไปเกี่ยวข้องตรงๆ... อ่านต่อที่ : https://www.dailynews.co.th/article/249744

พลังงานที่ใช้ควอนตัมอธิบาย

พลังงานที่ใช้ควอนตัมอธิบาย

อัลเบิร์ต ไอสไตน์ เป็นนักคณิตศาสตร์ ที่มีความฉลาดหลักแหลมที่สุดและเป็นนักคิดสร้างสรรค์ทางด้านวิทยาศาสตร์แห่งศตวรรษที่ 20 ความรู้ของเขาเกี่ยวกับธรรมชาติของแสงอวกาศและเวลา ก่อให้เกิดทฤษฎีสัมพันธภาพ และเปลี่ยนแนวความคิดเกี่ยวกับเอกภพของนิวตันในบางเรื่อง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีแรงโน้มถ่วงของโลก

ไอสไตน์ใช้ทฤษฎีควอนตัมของพลังค์อธิบายว่าแสงสามารถทำให้เกิดพลังงานไฟฟ้าได้อย่างไร ในปีเดียวกันทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษของเขาพิสูจน์ให้เห็นว่า แสงมีความเร็วที่สุดในโลก 10 ปีต่อมา ทฤษฎีสัมพันธภาพทั่วไป ของไอสไตน์ ทำให้เรารู้ว่าแสงที่เดินทางผ่านดวงดาวต่างๆบนท้องฟ้าถูกแรงโน้มถ่วงของดาวดึงให้บิดโค้งนอกจากนี้เขายังค้นพบวิธีการทำงานของพลังงานนิวเคลียร์และค้นพบว่า มวลจากอะตอมของธาตุเปลี่ยนเป็นพลังงานจำนวนมหาศาลได้ด้วย 200 ปีหลังจากสมัยของนิวตัน ไอสไตน์ทำให้วิทยาศาสตร์ก้าวหน้า ไปมากที่สดีของเขาเป็นแรงบันดาลใจให้เกิดสิ่งประดิษฐ์ที่ยิ่งใหญ่ แห่งศตวรรษที่ 20 คือ พลังงานนิวเคลียร์

http://mucc.mahidol.ac.th/~scokw/SCCH230/lecture230_3.pdf
คลิ๊กที่นี่

สมการชเรอดิเงอร์ อนุภาคในกล่อง

http://mucc.mahidol.ac.th/~scokw/SCCH230/lecture230_3.pdf
คลิกที่นี่

สมการชเรอดิงเงอร์และอนุภาคในกล่อง และ Postulate (แบบฝึกหัด ส่งในนามห้อง คบ.ฟิสิกส์ปี4)

http://mucc.mahidol.ac.th/~scokw/SCCH230/lecture230_3.pdfhttps://www.google.co.th/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwisk8-3tMnWAhXJp48KHb9zBXAQFgglMAA&url=http%3A%2F%2Fmucc.mahidol.ac.th%2F~scokw%2FSCCH230%2Flecture230_2.pdf&usg=AFQjCNHW5f1nPhs98brZrmEePSpNmF10NQ

ควอนตัม ข้อตกลงเบื้องต้น

https://www.google.co.th/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwisk8-3tMnWAhXJp48KHb9zBXAQFgglMAA&url=http%3A%2F%2Fmucc.mahidol.ac.th%2F~scokw%2FSCCH230%2Flecture230_2.pdf&usg=AFQjCNHW5f1nPhs98brZrmEePSpNmF10NQ

บทที่ 3 กำลังงานจากควอนตัม

บทนี้ จะดูว่าแนวคิดควอนตัมมีบทบาทสำคัญในฟิสิกส์การเกิดของพลังงาน  ควอนตัมได้ก้าวเข้ามาเกี่ยวข้องกับการผลิตพลังงาน รูปแบบต่างๆมีบทบาทสำคัญในชีวิตสมัยใหม่ ที่ใช้พลังงานฟอสซิล ในยานพาหนะ  การหุงต้ม ให้ความอบอุ่นในฤดูหนาว พลังงานเข้าถึงบ้านเรือนที่อยู่อาศัยโดยผ่านทาง ในรูปของพลังงานไฟฟ้า ซึ่งไม่ใช่เป็นแหล่งของพลังงาน  เป็นเพียงวิธีการส่งผ่านพลังงานจากที่หนึ่งไปยังอีกที่หนึ่ง พลังงานไฟฟ้าอาจได้มาจากพลังงาน ที่เก็บในเชื้อเพลิงฟอสซิล ถ่าน น้ำมัน หรือแกส เชื้อเพลิงนิวเคลียร์ เช่นยูเรเนียม หรือ พลูโตเนียม แหล่งพลังงานทียั่งยืนเช่นแสงอาทิตย์ ลม คลื่น เฉพาะพลังงานลมและคลื่นไม่ได้เกี่ยวข้องโดยตรงกับฟิสิกส์ควอนตัม

เชื้อเพลิงทางเคมี
      เชื้อเพลิงเช่น ไม้ กระดาษ น้ำมัน หรือแกส ประกอบด้วยสารประกอบไฮโดรคาร์บอน  อันมีองค์ประกอบหลักคืออะตอมไฮโดรเจนและคาร์บอน   เมื่อเผาเชื้อเพลิงดังกล่าวในอากาศไฮโดรเจนกับคาร์บอนจะรวมตัวกันกับออกซิเจนจากอากาศเกิดเป็นน้ำและคาร์บอนไดออกไซด์ ตามลำดับ ในกระบวนการนี้พลังงานที่ปลดปล่อยในรูปของความร้อน ที่สามารถนำไปใช้ในการผลิตไฟฟ้า นำไฟฟ้าที่ำดไปใช้ให้พลังงานกับมอเตอร์ ให้กับหลอดไฟฟ้าให้แสงสว่าง ในอุปกรณ์ที่ให้ความร้อนต่างๆ เป็นต้น
      เมื่อดูว่าพลังงานเกี่ยวข้องขึ้นอยู่กับฟิสิกส์ควอนตัมอย่างไร  เร่ิ่มจากตัวอย่างการรวมตัวทางเคมีอย่างง่ายที่อะตอมไฮโดรเจนรวมตัวกันสองอะตอมเกิดเป็นโมเลกุลไฮโดรเจน ที่ประกอบด้วยโปรตอนสองตัวและอิเลคตรอนสองตัวดังในรูปที่ 3.1

รูปที่ 3.1 เมื่ออะตอมไฮโดรเจน 2 อะตอมมารวมกันเกิดเป็นโมเลกุลไฮโดรเจน (a)พลังงานรวมของระบบลดลง และพลังงานส่วนเกิดปลดปล่อยออกมาในรูปของความร้อน  กราฟ(b)แสดงการเปลี่ยนแปลงพลังงานของระบบ เมื่อระยะห่างระหว่างอะตอมไฮโดรเจนเปลี่ยนแปลง  สถานะสุดท้ายของโมเลกุลตรงกับจุดที่พลังงานต่ำที่สุดที่แสดงด้วย p

     ในบทที่2 ได้แสดงให้เห็นแล้วว่าคุณสมบัติคลื่นของอิเลคตรอนส่งผลให้พลังงานของอะตอมไฮโดรเจนอยู่สภาพควอนไตย์  ดังนั้นระดับพลังงานมีค่าชุดหนึ่งเป็นการเฉพาะ เมื่อไม่ถูกกระตุ้น อะตอมจะอยู่ที่ระดับพลังงานต่ำสุดหรือสถานะพื้น (ground state)  ต่อไปเมื่อพิจารณาว่าพลังงานรวมของระบบได้รับผลกระทบอย่างไรเมื่อนำอะตอมไฮโดรเจน 2 อะตอมเข้าใกล้กันและกัน  ประการแรกพิจารณาพลังงานศักย์ซึ่งเปลี่ยนแปลงใน 3 แนวทาง  ทางแรกพลังงานศักย์มีค่าเพิ่มขึ้นเพราะแรงผลักไฟฟ้าสถิตย์ระหว่างโปรตอนประจุบวก แนวทางที่สอง พลังงานศักย์มีค่าลดลงเพราะว่าอิเลคตอนแต่ละตัวตอนนี้ถูกดึงดูดด้วยโปรตอนทั้งสอง แนวทางที่สามพลังงานศักย์เพิ่มขึ้นเพราะแรงผลักระหว่างอิเลคตรอนประจุลบทั้งสอง  นอกจากนี้พลังงานจลน์ของอิเลคตรอนลดลงเพราะว่าอิเลคตรอนสามารถเตลื่อนไปได้ทั่วระหว่างนิวเคลียสทั้งสอง  ดังนั้นขนาดของกล่องที่ส่งผลที่จำกัดขอบเขตอิเลคตรอนไว้เพิ่มขึ้น (เห็นได้จากที่อภิปรายพฤติกรรมควอนตัมของอนุภาคในกล่อง ในบทที่ 2 ที่พบว่ากล่องยิ่งมีขนาดใหญ่ขึ้น ก็ยิ่งมีพลังงานจลน์ต่ำที่สถานะพื้น)  และยังได้กำหนดว่าข้อยกเว้นของ พอลลิ (Pauli exclusion principle) ยอมให้อิเลคตรอนทั้งสองเข้าครองที่สถานะพื้น  จัดให้ว่าอิเลคตรอนทั้งสองมีสปิน(spin)ตรงข้ามกัน ผลที่ตามมาของการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดขึ้นอยู่กับว่าอะตอมอยู่ห่างกันเท่าใด  เมื่ออยู่ห่างกันมากพลังงานรวมจะเปลี่ยนน้อยมาก และเมื่ออยู่ใกล้กันมาก การผลักกันทางไฟฟ้าสถิตย์ระหว่างนิวเคลียสจะมีผลมาก ที่ห่างกันกลางๆ จะมีการลดลงของพลังงานรวม การลดลงมากที่สุดเมื่อโปรตอนห่างประมาณ 7.4x10^-10 m  (เทียบเคียงกับรูป 3.1 (b))

    ที่จุดนี้ ความแตกต่างระหว่างพลังงานของโมเลกุลไฮโดรเจนและพลังงานของอะตอมไฮโดรเจนที่อยู่ห่างจากกัน เท่ากับ หนึ่งในสามของพลังงานที่ระดับพื้นของอะตอมไฮโดรเจน พลังงานส่วนที่เกินจากของโมเลกุลไปไหน คำตอบก็คือบางส่วนไปเป็นพลังงานจลน์ในการเคลื่อนโมเลกุล ขณะที่ส่วนที่เหลือปลดปล่อยออกมาในรูปของโฟตอน และทั้งสองกรณีดังกล่าวก่อให้เกิดความร้อน ผลโดยรวมทำให้อุณหภูมิสูงขึ้น ซึ่งเป็นส่วนที่เราคาดหวังจากเชื้อเพลิง

     จากตัวอย่างที่แสดงหลักการว่าพลังงานสามารถปลดปล่อยโดยการนำอะตอมเข้ามารวมกันเกิดเป็นโมเลกุล แต่ในกรณีเฉพาะของไฮโดรเจนไม่มีประโยชน์มากนักในทางปฏิบัติที่จะเป็นแหล่งของพลังงาน ทั้งนี้เพราะแกสไฮโดรเจนที่มีบนโลกนั้นมักจะประกอบกันเป็นโมเลกุลอยู่แล้ว ตัวอย่างในทางปฏิบัติมากกว่าคือการรวมกันของไฮโดรเจนกับออกซิเจนเกิดเป็นน้ำ  สถานะพลังงานที่ระดับพื้นของของโมเลกุลน้ำน้อยกว่าสถานะพลังงานที่ระดับพื้นของอะตอมออกซิเจนและสองอะตอมไฮโดรเจนที่เป็นองค์ประกอบ  อย่างไรก็ตาม เช่นเดียวกับไฮโดรเจนที่ แกสออกซิเจนก็อยู่ในรูปโมเลกุลที่มีสองอะตอม ถ้าเราผสมรวมไฮโดรเจนและออกซิเจนเข้าด้วยกันที่อุณหภูมิห้อง ก็ไม่เกิดอะไรขึ้น ทั้งนี้เพราะก่อนที่จะรวมกันได้ให้เกิดเป็นน้ำ โมเลกุลของไฮโดรเจนและออกซิเจน สิ่งแรกต้องแยกตัวออกเป็นอะตอมที่เป็นองค์ประกอบเสียก่อน ซึ่งจำเป็นต้องให้พลังงานจากแหล่งภายนอกเสียก่อน  อย่างไรก็ตามทันทีที่โมเลกุลน้ำก่อตัวขึ้นบ้างแล้ว พลังงานที่ปลดปล่อยในกระบวนการนี้มากเกินพอที่ใช้แยกอะตอมไฮโดรเจนและออกซิเจน กระบวนการเกิดขึ้นรวดเร็วและเกิดขึ้นได้ด้วยตัวเอง  ตัวอย่างหนึ่งในเรื่องนี้คือเปลวไฟจากการจุดแกสในห้องปฏิบัติการหรือ ในครัวโดยใช้ไม้ขีดหรืออุปกรณ์ทำประกายไฟ ไฟจากไม้ขีดหรือประกายไฟที่อุณหภูมิสูง ทำให้โมเลกุลไฮโดรเจนและออกซิเจนที่อยู่ใกล้เคียงแยกตัวส่งผลให้มีการรวมอะตอมของออกซิเจนและไฮโดรเจนได้โมเลกุลน้ำ และปลดปล่อยพลังงานที่ให้ความร้อนแกสมากขึ้นที่สามารถที่จะจุดให้เกิดเปลวไฟต่อไป กระบวนการเกิดขึ้นต่อเนื่องได้ด้วยตัวเอง และความร้อนที่ได้สามารถนำมาใช้ในการหุงต้ม ให้ความอบอุ่นแก่บ้านเรือน ฯลฯ

     หลักการที่เกี่ยวข้องตามตัวอย่างนี้อยู่ภายใต้เชื้อเพลิงทางเคมีที่มีประโยชน์ทั้งหมด และโดยแท้จริงคือพลังงานนิวเคลียร์ ที่เราจะเห็นได้ต่อไป  เชื้อเพลิงไฮโดรคาร์บอนเช่น น้ำมัน หรือ แกสบรรจุไว้ด้วยโมเลกุล ประกอบด้วยคาร์บอน ไฮโดรเจน เป็นหลัก ซึ่งอยู่ได้อย่างคงตัวมาเป็นเวลาช้านาน อาจเป็นล้านๆ ปี ความคงตัวนี้ยังมีอยู่แม้เมื่อสารประกอบนี้ได้รับการสัมผัสกับอากาศที่อุณหภูมิห้อง  แต่ทันทีที่ให้พลังงานในการแยกโมเลกุลเป็นอะตอม อะตอมก็จะจัดตัวเองเป็นส่วนผสมของน้ำและคาร์บอนไดออกไซด์พร้อมกับการปลดปล่อยพลังงาน หลักการที่เกี่ยวข้องกับฟิสิกส์ของควอนตัม กล่าวคือ ผลรวมของพลังงานควอนตัมที่สถานะพื้นของโมเลกุลน้ำ และคาร์บอนไดออกไซด์น้อยกว่าโมเลกุลเริ่มต้นไฮโดรคาร์บอน  อย่างไรก็ตามเพื่อให้เริ่มต้นการแปลี่ยนแปลงพลังงานจะต้องให้แก่สารนี้ ทันทีที่ส่วนผสมได้รับความร้อนที่อุณหภูมิสูงมากพอกระบวนการก็ดำรงอยู่ได้ด้วยตนเอง (ยกเว้นว่าทำให้กระบวนการตัดขาดไป พลังงานยังคงปลดปล่อยออกมาอย่างต่อเนื่องจนกระทั่งเชื้อเพลิงหมดไป

หลักความไม่แน่นอนของไฮเซ็นเบิร์ก

การใช้แบบจำลองของโบร์มาอธิบายมีปัญหายุ่งยากมากขึ้น ซึ่งพบว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะทราบตำแหน่งและโมเมนตัม หรือ พลังงาน กับเวลาในเวลาเดียวกัน เหตุผลที่ใช้อธิบายโดยเทียบเคียงกับเรื่องที่กำลังแล่นอยู่ และคำนวณหาตำแหน่งของเรือ คลื่นแสงที่ทำให้มองเห็นเรือมีความยาวคลื่นประมาณ 4x10^-5 ถึง 8x10^-5 เซ็นติเมตร หรือ 4x10^-7 ถึง 8x10^-7 เมตร ซึ่งมีพลังงานต่ำมาก แสงจะไปตกกระทบที่เรืิอแล้วสะท้อนมาเข้าตา เมื่อตรวจจับแสงที่ได้นั้น พบว่ามีค่าพลังงานแสงต่ำมาก เรือที่มีระวางขับน้ำหลายตันจะไม่มีผลกระทบทำให้เรือเคลื่อนไหว อันเป็นผลมาจากแสงมาตกกระทบ และถ้าต้องการมองอนุภาคที่เล็กมากที่มีขนาดเส้นผ่าศูนย์กลาง 10^-8 cm หรือ 10^-10 เมตร การจะหาตำแหน่งของอนุภาคจำเป็นต้องใช้แสงที่มีความยาวคลื่นเท่ากับอนุภาคโดยประมาณ การแผ่รังสีที่ความยาวคลื่น 10^-8 ซม. ซึ่งถือว่าเป็นความยาวคลื่นที่สั้นมาก และมีพลังงานสูงเมื่อเทียบกับขนาดของอะตอม อันเนื่องมาจากผลของสมการคือ
                               E = hc/l      l คือ ความยาวคลื่น
     ดังนั้นในกระบวนการกำหนดตำแหน่งของอนุภาค จากการสังเกตอนุภาคนั้นมีการแผ่รังสีพลังงานในระดับสูง ทำให้มีการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมและพลังงาน  ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะหาทั้งตำแหน่งและโมเมนตัมขณะเดียวกันให้มีความละเอียดถูกต้องสูงกว่าปริมาณมูลฐานที่สุดซึ่งได้แก่ค่าคงที่ของพลั้ง h และความสัมพันธ์ระหว่างความไม่แน่นอนของตำแหน่งหรือระยะทาง และความไม่แน่นอนที่มีอยู่ในโมเมนตัมจะเป็นดังนี้

                                    Δ x. Δp ≥ h  

    ความสัมพันธ์นี้อยู่ในรูปแบบหนึ่งของหลักการความไม่แน่นอนของไฮเซ็นเบร์ก บ่งชี้ให้เห็นว่า h เป็นค่ามูลฐานจากการกระทำทางควอนตัม จะสามารถเห็นได้ว่าสมการนี้มีมิติที่ถูกต้อง มาจากมิติความไม่แน่นอนของตำแหน่งคูณกับมิติความไม่แน่นอนของโมเมนตัมจะมิติความไม่แน่นอนเป็นดังนี้

                   ระยะทาง x ( มวล x  ระยะทาง/เวลา)   kg m^2/sec
       สมการต่อไป มีมิติที่ถูกต้องเช่นกัน
                                   Δ t. ΔE ≥ h     ก็ได้มิติหน่วยเหมือนกัน

การแนะจากแบบจำลองของโบร์ทำให้สามารถรู้รายละเอียดการเคล่ื่อนที่เป็นวงโคจรอิเลคตรอน และพลังงานที่เวลาเดียวกัน แต่ไม่สามารถที่จะอธิบายได้อย่างถูกต้อง จึงนำไปสู่การหาวิธีอธิบายอื่นที่ดีกว่า แบบจำลองแบบคลื่นของอะตอมไฮโดรเจน ได้รับความสนใจกว่า

สรุปบทที่ 2 คลื่นและอนุภาค

ในบทนี้ได้นำเข้าสู่แนวคิดหลักของควอนตัมฟิสิกส์ ซึ่งจะพัฒนาและประยุกต์ใช้กับสถานะการณ์ทางกายภาพหลายอย่างในบทที่จะถึงต่อไป ผู้อ่านคงจะได้ข้อแนะนำมาอย่างดีเพื่อให้แน่ใจเข้าใจหลักการเบื้องต้นเหล่านั้น ซึ่งย่อสรุปไว้ดังนี้
-ตัวอย่างของคลื่นแบบคลาสสิกคือคลื่นน้ำ คลื่นเสียง และคลื่นแสง  ทั้งหมดแบ่งชนิดได้ตามความถี่ ซึ่งหาได้เป็นจำนวนครั้งต่อวินาทีที่จุดใดๆ บนคลื่นสั่นแกว่ง และความยายคลื่นเป็ฯการวัดระยะซ้ำเดิมตามคลื่นที่เวลาใดๆ
-คลื่นมีรูปแบบการเดินทางของคลื่น หรือ เป็นคลื่นนิ่ง
-การเดินทางของคลื่นเคลื่อนท่ี่อัตราเร็วหาได้จากความถี่และความยาวคลื่น
-เพราะว่าคลื่นนิ่งเป็นผลจากที่คลื่นถูกจำกัดขอบเขตในบริเวณในสเปสซ์ ความยาวคลื่นและดังนั้น ความถี่ของคลื่นนิ่งก็จำกัดให้มีค่าได้ชุดหนึ่งที่ยอมให้ได้เท่านั้น  เรื่องนี้มีตัวอย่างในโน้ตดนตรีที่สร้างขึ้นจากเครื่องดนตรี
-แม้ว่ามีหลักฐานที่แสงแสดงตัวเป็นคลื่น ในบางสถานะการแสงทำตัวเหมือนราวกับว่าเป็นกระแสของอนุภาคที่เรียกว่าควอนต้าแสง หรือ โฟตอน
-ทำนองเดียวกันอนุภาคควอนตัมเช่นอิเลคตรอนทำตัวในบางบริบทราวกับว่าตัวเองเป็นคลื่น
-เมื่ออิเลคตรอนตัวหนึ่งถูกจำกัดขอบเขตอยู่ในพลังงานศักย์หนึ่ง เช่นในกล่อง คลื่นสารเป็นแบบคลื่นนิ่งด้วยความยาวคลื่นเฉพาะ ซึ่งในทางกลับกันเป็นเหตุพลังงานอิเลคตรอนควอนไตซ์ นั่นคือมีชุดหนึ่งของค่าเฉพาะ
-เมื่อระบบควอนตัมเคลื่อนที่จากระดับพลังงานหนึ่งไปยังอีกระดับหนึ่ง  การเปลี่ยนแปลงของพลังงานถูกจัดให้เป็นโฟตอนที่นำเข้ามาหรือโฟตอนปล่อยออกไปตามที่กำหนด
-คุณสมบัติของคลื่นของอนุภาคควอนตัมยอมให้อนุภาคควอนตัมนั้นเจาะอุโมงควอนตัมผ่านสิ่งกั้นขวางพลังงานศักย์ ที่ซึ่งในทางคลาสสิกไม่สามารถที่จะเกิดขึ้นได้
-การวัดและการคำนวณระดับพลังงานที่ของอะตอมไฮโดรเจนสอดคล้องตรงใกล้เคียงกันมาก ซึ่งเป็นหลักฐานที่มั่นคงสำหรับความถูกต้องของฟิสิกส์ควอนตัม
-หลักการของพอลลิ(pauli principle) กล่าวว่าไม่มีอิเลคตรอนสองตัวใดสามารถเข้าครองสถานะทาง
ควอนตัมเดียวกัน  เพราะว่าอิเลคตรอนตัวหนึ่งๆ สามารถอยู่ในสถานะ 1 จาก 2 สถานะของการสปิน ซึ่งหมายความว่าแต่ละคลื่นนิ่งสามารถบรรจุได้ 2 อิเลคตรอน

ข้อสังเกต คำศัพท์
-เงื่อนไขขอบ
-กรณีการดึง ยืดเส้นเชือก สาย อัตราเร็วสัมพันธ์กับความตึงในเส้นเชือกและมวลของเส้น ซึ่งทั้งสองสามารถปรับได้ในเครื่องดนตรีส่วนมาก เช่นไวโอลินเปลี่ยนความตึงในสายเมื่อมีการตั้งเสียงหรือจูนเครื่องดนตรี สายที่หนักกว่าหรือเบากว่าใช้ในการสร้างโน้ตที่เสียงต่ำ และ โน้ตที่สูงกว่าตามลำดับ
-โดยเทคนิค ขนาดหรือแมกนิจูดของฟังก์ชั่นคลื่นที่คงที่อยู่ ขณะที่เฟส(phase)สั่นแกว่ง  อย่างไรก็ตามการสั่นแกว่งของเฟสนี้มีบทบาทน้อย ถ้ามีอยู่บ้าง  เป็นส่วนที่หาคุณสมบัติได้ ก็จะอภิปรายกันต่อ  ขนาดของฟังก์ชันคลื่นสามารถเปลี่ยนแปลง แต่เฉพาะในสถานะการณ์ที่ซึ่งพลังงานของอนุภาคไม่ได้กำหนดให้ชัดแจ้งก็จะไม่อภิปรายกันต่อไป
ขเพราะว่าคลื่นถูกคลิปซ์ไปที่ขอบมุมของกล่อง กลับได้ว่าขนาดของโมเมนตัมมีกาแผ่กระจายของมากกว่าเพียงกำหนดโดย pn อย่างไรก็ตามขนาดที่แผ่กระจายออกทำนองเดียวกับ dp ตามที่ได้กำหนดไว้ที่ผ่านมา
-แนวคิดที่อิเลคตรอนหนึ่งๆตามตัวอักษรมีการหมุนควงหรือหมุนรอบตัวเอง นั้นคงจะเป็นการคิดตามโมเดลกึ่งคลาสสิกส์ คือคุณสมบัติที่ปรากฏออกมาจากการจัดทางคณิตศาสตร์ขั้นก้าวหน้าที่ควบรวมหลักการฟิสิกส์ควอนตัมและสัมพันธภาพ (relativity) ผลลัพธ์พื้นฐานที่อิเลคตรอนตัวหนึ่งสามารถอยู่ในสถานะสปิน 1 จาก 2 สถานะการสปินคือผลจากการจัดดังกล่าวด้วย

บทที่ 2...เจาะอุโมงควอนตัม ออสซิลเตอร์ควอนตัม , อะตอมไฮโดรเจน

การเจาะอุโมงควอนตัม

   แรกสุดเราพิจารณากรณีของอนุภาคที่เคลื่อนเข้าใกล์กำแพงพลังงานศักย์ (potential step)  หมายถึงว่าพลังงานศักย์นั้นเพิ่มขึ้นทันทีทันใดที่จุดเฉพาะพิเศษ ดังแสดงในรูป 2.6 ซึ่งเราสนใจในกรณีพลังงานของอนุภาคที่เข้าใกล้น้อยกว่าความสูงกำแพงพลังงานศักย์ ดังนั้นจากแนวคิดทางคลาสสิก เราคาดหวังได้ว่าอนุภาคเคลื่อนสะท้อนกลับทันทีที่อนุภาคเคลื่อนไปถึงกำแพงพลังงานศักย์ด้วยอัตราเร็วเดียวกัน มีหลายอย่างมากเกิดขึ้นแบบเดียวกันเมื่อประยุกต์ใช้ฟิสิกส์ควอนตัม แต่มีความแตกต่างที่สำคัญ ที่จะเราจะเห็นได้คือ สิ่งแรกเราพิจารณาในรูปของคลื่นสาร บนฐานจากการอภิปรายมาก่อนหน้านี้ เราคาดหวังอนุภาคที่เคลื่อนเข้าหากำแพงพลังงานศักย์ แทนการเดินทางของคลื่นที่เคลื่อนที่จากทางซ้ายไปทางขวา และหลังจากกระทบกำแพงสะท้อนกลับคลื่นจะเคลื่อนจากขวาไปซ้าย โดยทั่วไปเราไม่รู้ว่าอนุภาคกำลังทำอะไรที่เวลาเฉพาะหนึ่ง  ดังนั้นฟังก์ชันคลื่นเคลื่อนไปทางซ้ายของกำแพง เกิดจากผลรวมที่ผ่านมา และยืนยันเมื่อแก้สมการชเรอดิงเงอร์โดยใช้คณิตศาสตร์  อะไรคือความสนใจจริงอยู่เในรูปของคลื่นเคลื่อนไปทางขวาของกำแพง ในทางฟิสิกส์คลาสสิกไม่มีความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาคที่ตำแหน่งนั้น  ดังนั้นเราคงคาดได้ว่าฟังชันคลื่นเป็นศูนย์ในบริเวณนี้  อย่างไรก็ตามเมื่อเราแก้สมการ ชเรอดิงเงอร์ ก็พบดังที่แสดงในรูป 2.6(a) การคำนวณฟังก์ชันคลื่นไม่ได้เป็นศูนย์ไปจนถึงทางขวาบางส่วนของกำแพงพลังงานศักย์  จากที่คิดให้ความเข้มของฟังก์ชั่นคลื่นที่จุดใดๆแทนความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาคที่จุดนั้น  เราเห็นได้ว่าฟิสิกส์ควอนตัมทำนายว่ามีโอกาสหรือความน่าจะเป็ฯในการพบอนุภาคในบริเวณที่ซึ่งไม่เคยพบได้เลยในทางฟิสิกส์คลาสสิก อันเป็นเรื่องราวทั้งหมดของเรื่องนี้

รูปที่ 2.6 เส้นทึบหนักใน(a) แทนกำแพงพลังงานศักย์ (potential step) ฟังก์ชันคลื่นสำหรับอนุภาคตัวหนึ่งที่เคลื่อนไปที่กำแพงพลังงานศักย์ โดยอนุภาคสามารถเจาะผ่านกำแพง ได้ให้ค่าความน่าจะเป็นในการพบอนุภาคในบริเวณที่เป็นบริเวณต้องห้ามในทางฟิสิกส์คลาสสิก ในกรณีที่สอดคล้องกันที่มีสิ่งขวางกั้นแคบๆ (narrow barrier) ดังแสดงใน(b) ฟังก์ชันคลื่นที่เจาะสิ่งขวางกั้นเข้าไปจึงทำให้มีความน่าจะเป็นที่อนุภาคจะไปโผล่ทางด้านขวามือของสิ่งขวางกั้น ที่ไม่เคยมีได้ทางฟิสิกส์คลาสสิก ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าการเจาะอุโมงกลควอนตัม (quantum mechanical tunnelling)

        ในเรื่องนี้กลับพบว่าเป็นไปไม่ได้ที่ทดสอบการทำนายการเกิดขึ้นข้างบนนี้ได้โดยตรง  เนื่องจากการวางตัวตรวจจับแบบใดๆก็ตามภายในสิ่งขวางกั้นส่งผลให้เปลี่ยนแปลงรูปแบบพลังงาน  แต่เราสามารถทดสอบทางอ้อม เพื่อพิจารณาสถานะการณ์ที่แตกต่างกันเล็กน้อยดังแสดงในรูป 2.6(b)  แทนที่จะเป็นกำแพงพลังงานศักย์ก็แทนด้วยสิ่งขวางกั้น ที่กำแพงพลังงานศักย์ลดลงเป็นศูนย์ไปทางขวาของสิ่งขวางกั้นมีคลื่นเล็กน้อยง เมื่อใช้สมการชเรอดิงเงอร์แก้สมการในสถานะการณ์เช่นนี้ เราพบรูปแบบของฟังก์ชันคลื่นทางซ้ายของสิ่งขวางกั้น ภายในสิ่งขวางกั้น ซึ่งคล้ายคลึงกับที่เพิ่งอภิปรายมาแล้วในกรณีกำแพงพลังงานศักย์ อย่างไรก็ตามตอนนี้มีคลื่นเคลื่อนที่ค่อนข้างเล็ก แต่มีแอมปริจูดแน่ชัดไปทางขวาสิ่งขวางกั้น  การตีความดังกล่าวทางกายภาพ เราสรุปได้ว่ามีความน่าจะเป็นเล็กน้อยที่อนุภาคจะเข้าสู่สิ่งขวางกั้นจากทางซ้าย ไม่สะท้อนกลับแต่กลับไปโผล่ในอีกด้านหนึ่ง ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า การเจาะอุโมงกลควอนตัม (quantum mechanical tunnelling)  เพราะว่าอนุภาคปรากฏไปเจาะอุโมงผ่านสิ่งขวางกั้นที่ไม่สามารถผ่านได้ในทางคลาสสิก

มีปรากฏการณ์ทางกายภาพในวงกว้างที่สาธิตแสดงให้เห็นการเจาะอุโมงควอนตัมในทางปฏิบัติ  ตัวอย่างเช่นในการสลายตัวของสารกัมมันตรังสี ที่อนุภาคอัลฟาถูกปลดปล่อยออกมาจากนิวเคลียสของบางอะตอม ความน่าจะเป็นการเกิดขึ้นสำหรับอะตอมเป็นการเฉพาะนั้นต่ำมาก การต่ำเช่นนี้นั้นนิวเคลียสพิเศษเช่นนี้จะรอหลายล้านปีโดยเฉลี่ยก่อนที่จะสลายตัว ตอนนี้เป็นที่เข้าใจบนฐานที่อนุภาคอัลฟ่าถูกกักบริเวณภายในนิวเคลียสโดยสิ่งขวางกั้นพลังงานศักย์ที่เท่าเทียมกัน หลักการที่คล้ายคลึงกันกับทีอภิปรายข้างบนนี้ พบคลื่นที่แอมปลิจูดเล็กมากภายนอกสิ่งขวางกั้น ซึ่งหมายถึงว่ามีความน่าจะเป็นน้อย(แต่ไม่เป็นศูนย์)ของอนุภาคที่เจาะอุโมงควอนตัมออกมา

ไม่กี่ปีมานี้ การเจาะอุโมงควอนตัมได้นำไปประยุกต์  ใช้ประโยชน์ในการพัฒนากล้องจุลทัศน์สแกนนิ่งทูนเนลลิง (scanning tunnelling microscope) ในอุปกรณ์นี้ประกอบด้วยปลายโลหะจุดแหลมที่ยึดไว้เหนือผิวหน้าของโลหะ จะได้ผลคืออิเลคตรอนเจาะอุโมงผ่านสิ่งขวางกั้นที่แยกจากปลายโลหะจุดแหลมจากผิวหน้า และมีกระแสผ่าน อ้างอิงกลับไปยังรูปที่ 2.6  เราจะเห็นว่าฟังก์ชันคลื่นทางด้านขวาของสิ่งขวางกั้นขนาดเล็กลงอย่างรวดเร็ว ขณะที่ความหนาของสิ่งขวางกั้นเพิ่มขึ้น ซึ่งเป็นความเข้าใจว่ากระแสการเจาะอุโมง(tunnelling current) ลดลงรวดเร็วมากขณะที่ระยะที่จุดปลายโลหะและแผ่นแพลทโลหะเพิ่มขึ้น ถ้าจุดปลายโลหะสะแกนไปทั่วผิวหน้าโลหะที่ไม่ราบเรียบ การเปลี่ยนแปลงของกระแสไฟฟ้าให้ข้อมูล(สารสนเทศ)เกี่ยวกับความไม่ราบเรียบและผลเป็นแผนที่ของผิวหน้า  เทคนิคนี้ได้พัฒนาขึ้นไปถึงจุดที่จากความไม่ราบเรียบของผิวหน้าเกี่ยวโยงกับแต่ละอะตอมที่สามารถตรวจจับได้ ตามตัวอย่างภาพที่สร้างขึ้นมาได้ดังในรูปที่ 2.7 ความสามารถของนักวิทยาศาสตร์ที่จะสังเกตและจัดการกับแต่ละอะตอมโดยใช้สแกนนิ่งทูนเนลลิงไมโครสโคปี และเทคนิคที่ใกล้เคียงกันได้เปิดโลกทัศน์ใหม่ของวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีที่เรียกว่า วิทยาศาสตร์นาโน (nanoscience)

รูปที่ 2.7 (a) กล้องจุลทัศน์สแกนนิ่งทูนเนลลิงเคลื่อนหัวจุดปลายแหลมไปทั่วผิวหน้าและตรวจจับกระแสการเจาะอุโมงที่ผ่านเข้าไปที่ผิว ซึ่งเปลี่ยนค่าไปอย่างมากตามระยะของจุดปลายแหลมจากผิวหน้า จะตรวจจับได้ถึงความไม่ราบเรียบ ตามรูป(b)แสดงให้เห็นภาพส่วนของผิวหน้าของผลึกซิลิกอน ปลายยอดที่สว่างจะตรงกับอะตอมแต่ละตัว ภาพนี้จัดทำโดย P.A Slone และ R.E. palmer ที่ห้องปฏิบัติการฟิสิกส์ระดับมาตรนาโนของมหาวิทยาลัย Birmingham,UK

ออสซิลเลเตอร์ควอนตัม

      ตัวอย่างที่ 2 เราพิจารณาอนุภาคตัวหนึ่งเคลื่อนที่ในบ่อพลังงานศักย์พาราโบลา (parabolic potential) ดังแสดงในรูป 2.8ข้างล่างนี้  ในกรณีทางฟิสิกส์คลาสสิก อนุภาคจะออสซิลเลทหรือสั่นแกว่งตามปกติจากด้านหนึ่งของบ่อพลังงานศักย์ไปยังอีกด้านด้วยความถี่หนึ่งหาได้จากมวลอนุภาคและรูปร่างของบ่อ ขนาดหรือแอมปลิจูดของการสั่นแกว่งหาได้จากพลังงานของอนุภาค: ที่ตอนล่างหรือพื้นของบ่อ  พลังงานทั้งหมดนี้คือพลังงานจลน์  ขณะที่อนุภาคเข้าสู่ภาวะนิ่งที่ขีดจำกัดของการเคลื่อนที่  และขณะเมื่อพลังงานทั้งหมดเป็นพลังงานศักย์  ฟังก์ชันคลื่นหาได้โดยการแก้สมการชเรอดิงเงอร์  และได้พบว่า ดังในกรณีอนุภาคในกล่อง (รูปที่ 2.5)  ผลเฉลยของคลื่นนิ่งเป็นไปได้สำหรับค่าเฉพาะของพลังงานเท่านั้น ระดับพลังงานและฟังก์ชันคลื่นเกี่ยวพันกับระดับพลังงานแสดงไว้ดังรูป 2.8  มีความคล้ายคลึงที่สำคัญ และ ตวามแตกต่างที่สำคัญ  ระหว่างคลื่นนิ่งในรูป 2.8 และคลื่นนิ่งที่แสดงตรงกันในรูปที่ 2.5  สิ่งที่เหมือนกันสิ่งแรก ในทั้งสองกรณี ฟังก์ชันคลื่นตรงกันในสถานะพลังงานต่ำสุดที่แทนด้วยกราฟโค้งนูนเดี่ยวที่ไปสู่ค่าสูงสุดที่ตอนกลาง สถานะสูงสุดถัดไปจะมีกราฟ 2 โค้งนูน อันหนึ่งเป็นลบอีกอันเป็นบวกด้วยฟังก์ชันคลื่นข้ามแกนอ้างอิงและต่อๆ ไป  ตอนนี้ความแตกต่าง ประการแรก ความกว้างที่เข้าครองโดยคลื่นนั้นเหมือนกันสำหรับทุกสถานะในกรณีของกล่อง แต่เปลี่ยนไปกรณีการสั่นแก่วง เพราะว่าขณะที่พลังงานรวมเพิ่มขึ้น เช่นเดียวกับความกว้างของบริเวณซึ่งพลังงานรวมเป็นบวก กล่าวอย่างหยาบๆ เราสามารถกล่าวได้ว่าความกว้างที่ส่งผลของกล่องแตกต่างกันสำหรับระดับพลังงานที่แตกต่างกัน  ประการที่สอง คลื่นไม่ได้เปลี่ยนไปสู่ศูนย์ทันทีทันใด   เข้าสู่ขีดจำกัดของการเคลื่อนที่แบบคลาสสิก แต่ทะลุทะลวงเข้าสู่บริเวณต้องห้ามทางคลาสสิกในขอบเขตหนึ่งในอาการเดียวกันกับกรณีอนุภาคเคลื่อนเข้าบรรไดพลังงานศักย์ (ดูรูป2.6aเปรียบเทียบ)เป็นการอภิปรายในรายละเอียดมากขั้นในคณิตศาสตร์ 2.6
      โดยการศึกษาตัวอย่างนี้ ผู้อ่านจะหวังให้เข้าใจในหลายลักษณะ  ของปัญหาที่สามารถหาได้จากเข้าใจเรื่องคลื่นสารเมื่อมีพลังงานศักย์คงที่  แม้ว่าในรายละเอียดต้องการแนวทางการใช้คณิตศาสตร์มากขึ้น ตอนนี้เราคงพยายามที่จะประยุกต์หลักการเพื่อเข้าใจฟิสิกส์ควอนตัมของอะตอมจริง

รูปที่ 2.8 ระดับพลังงานและฟังก์ชันคลื่นที่สอดคล้องกัน ที่มี 4 สถานะพลังงานต่ำสุด ของอนุภาคหนึ่งกำลังเคลื่อนที่ในพลังงานศักยพาราโบล่า  ฟังก็ชันคลื่นที่แสดงมีค่าเป็นศูนย์ตรงกับระดับพลังงาน จะเห็นว่า "ขนาดกล่องที่ยังผล (effective box size)" ใหญ่กว่า   และสถานะก็สูงขึ้น นั้นฟังก์ชั่นคลื่นทะลุทะลวงผ่านบริเวณต้องห้ามในทางคลาสสิกในแนวทางที่คล้ายคลึงกับขั้นบันไดพลังงานดังแสดง
ในรูป 2.6 a


อะตอมไฮโดรเจน

อะตอมที่ง่ายที่สุดคือธาตุไฮโดรเจน ซึ่งประกอบด้วยอิเคลตรอนอนุภาคประจุลบเดียวที่มี  อยู่ภายใต้อิทธิพลของนิวเคลียสที่มีประจุบวกโดยแรงไฟฟ้าสถิต ซึ่งจะมีค่ามากเมื่ออิเลคตรอนเข้าใกล้นิวเคลียส และลดความเข้มข้นลงเมื่ออยู่ห่างจากนิวเคลียสมากขึ้น  ด้วยผลดังกล่าวพลังงานศักย์จะมีค่ามากและเป็นลบเมื่อเข้าใกล้นิวเคลียส และเข้าใกล้ศูนย์เมื่อเคลื่อนที่ห่างออกจากนิวเคลียส(เทียบเคียงจากรูปที่ 2.9)  ตัวอย่างที่ได้อภิปรายไปแล้วนั้นพิจารณาในหนึ่งมิติทั้งสิ้น หมายความว่าเราได้คิดให้อนุภาคนั้นจำกัดขอบเขตให้เคลื่อนที่ตามทิศทางเฉพาะ (จากซ้้ายไปขวาหรือในทางที่กลับกัน)  อย่างไรก็ตามอะตอม เป็นวัตถุสารที่เป็น 3 มิติ และเราจะมาพิจารณาในความสำคัญในกรณีนี้ก่อนที่เราจะเข้าใจได้ทั้งหมด ลักษะนักสำคัญที่ทำให้ง่ายในกรณีอะตอมไฮโดรเจนก็คือพลังงานศักย์เป็นคูลอมนั้นเป็นสมมาตรทรงกลม นั่นคือจะขึ้นอยู่กับระยะทางระหว่างอิเลคตรอนและนิวเคลียส ไม่ว่าทิศทางของการแยกห่างกันเป็นอย่างไร ผลที่ได้หลายอย่างจากฟังก์ชันคลื่นเกี่ยวพันธ์กับระดับพลังงานที่ยอมให้ได้ก็มีสมมาตรเหมือนกัน เราจะอภิปรายเรื่องนี้ก่อนและกลับไปเรื่องอื่นภายหลัง

คณิตศาสตร์ 2.6

เราได้เห็นแล้วก่อนหน้านี้ ในกรณีที่อนุภาคตัวหนึ่งในกล่อง ระดับพลังงานเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว ขณะที่เราติดตามเป็นขั้นบันได โดยมีค่าดังนี้

            E_n = h²n²/8mL²

                
เมื่อ L คือขนาดของกล่อง  เห็นได้ชัดจากสูตรตามสมการนี้ และแสดงไว้ในรูปที่ 2.5  ช่วงว่างระหว่างระดับพลังงานที่มีลำดับต่อกัน ยิ่งช่วงห่างมาก ระดับพลังงานเหล่านี้ก็ยิ่งมีค่าสูง

        ในกรณีของออสซิลเลเตอร์ พลังงานศักย์อยู่ในรูปของ

                    V = kx²

เมื่อ k เป็นค่าคงที่   ช่วงกว้างที่เข้าครองโดยคลื่น ดังนั้นขนาดมากขึ้นตามพลังงานที่เพิ่มขึ้น ดังที่แสดงในภาพ 2.8 เราสามารถที่จะเปรียบเทียบโดยประมาณกับอนุภาคในกล่อง โดยคิดให้ขนาดที่ให้ผลของกล่องก็คือความกว้างของฟังก์ชันคลื่น และขนาดโตกว่าสำหรับที่ระดับพลังงานสูงกว่า  เมื่อนำทุกอย่างเข้าด้วยกันเราสามารถทำนายได้วาช่องว่างระหว่างระดับพลังงานออสซิลเลเตอร์จะเพิ่มขึ้นเร็วน้อยลงที่พลังงานสูงกว่าเมื่อคิดในกล่อง  การทำนายนี้ได้รับการสนับสนุนเมื่อคำนวณระดับพลังงานของออสซิลเลเตอร์โดยการแก้สมการชเรอดิงเงอร์ ซึ่งได้ผลเป็นค่าคู่ ชุดของระดับพลังงานของตัวออสซิลเตอร์ นิพจน์ที่ใช้คำนวณจริงคือ

         En  =  (n +1/2)hf

เมื่อ f คือความถี่คลาสสิกของออสซิลเลเตอร์ และ  n เป็นจำนวนเต็มบวก หรือ ศูนย์

รูปที่ 2.9 อะตอมไฮโดรเจน ไดอะแกรมแสดงพลังงานศักย์ พร้อมด้วย 4 ระดับพลังงานต่ำสุด และฟังก์ชันคลื่นที่สอดคล้องตรงกันที่ต่ำสุด  ฟังก์ชันคลื่นได้วาดให้เห็นที่เป็นศูนย์ตรงกับระดับพลังงาน  จะเห็นว่าที่พลังงานเป็นศูนย์ตรงกับเส้นบนสุดในไดอะแกรม

พลังงานศักย์คูลอมจำกัดขอบเขตอิเลคตรอนอยู่ในบริเวณอิทธิพลของนิวเคลียสเหมือนกันมากกับกรณีของกล่อง และพลังงานศักย์ออสซิลเลเตอร์จำกัดเขตอนุภาคตามการอภิปรายในตัวอย่าง  เราเห็นถึงความกว้างของกล่องที่ส่งผลในกรณีของออสซิลเลเตอร์ที่สถานะสูงกว่าที่พลังงานสูงกว่า ในทางกลับกันหมายความว่าพลังงานที่สถานะสูงขึ้นไม่ได้เพิ่มขึ้นเร็วเท่ากับในกรณีของกล่องสีเหลี่ยม ถ้าเราเปรียบเทียบรูปร่างของพลังงานศักย์คูลอมบ์ในรูปที่ 2.9  กับออสซิลเลเตอร์ดังในรูปที่ 2.8 เราเห็นได้ว่าความกว้างพลังงานศักย์เพิ่มขึ้นเร็วกว่าด้วยพลังงานในกรณีคูลอมบ์  ประยุกต์ใช้การให้เหตุผลเดียวกันในกรณีออสซิลเลเตอร์ เราควรจะคาดหวังได้ถึงระดับพลังงานที่เพิ่มขึ้นช้ากว่าขณะที่เราไปตามขั้นบันไดพลังงาน  ในความเป็นจริงเกิดอะไรขึ้นกับระดับพลังงานที่่ปรากฏออกมาเป็น -R, -R/4, -R/9, -R/16  เมื่อ R เป็นตัวคงที่ที่เรียกว่า ตัวคงที่ Rhydberg ตามชื่อนักวิทยาศาสตร์ชาวสวีเดนผู้ศึกษาเกี่ยวกับสเป็กตรัมของอะตอมช่วงตอนปลายศตวรรษที่ 19 จากระดับศูนย์ที่ตรงกับอิเลคตรอนและนิวเคลียสที่อยู่ห่างไกลกันมาก

เมื่ออะตอมหนึ่งเคลื่อนจากระดับพลังงานหนึ่งไปยังอีกระดับหนึ่ง พลังงานที่ถูกดูดกลืนหรือปลดปล่อยออกมาในรูปการแผ่รังสีของโฟตอน โดยความถี่สัมพันธ์กับพลังงานที่เปลี่ยนแปลงตามความสัมพันธ์ของพลั้ง รูปแบบของความถี่ที่คำนวณได้ในแนวทางนี้จากรูปแบบระดับพลังงานดังกล่าว เหมือนกับที่สังเกตได้จากการทดลองให้ไฟฟ้าดิสชาร์ตผ่านไปในแกสไฮโดรเจน ผลเฉลยเต็มรูปจากสมการชเรอดิงเงอร์ทำทายค่าคงที่ R ในเทอมของประจุและอิเลคตรอนและตัวคงที่ของพลั้ง และค่าเหล่านี้เป็นไปตามที่หาได้จากการวัดในการทดลอง ในเรื่องนี้จะอภิปรายในรายละเอียดอีกครั้งในคณิตศาสตร์ 2.7  ในตอนนี้เราได้ข้อเห็นพ้องกันสมบูรณ์ระหว่างการทำนายของฟิสิกส์ควอนตัมและการวัดจากการทดลองของระดับพลังงานของอะตอมไฮโดรเจน

เราได้ใช้หลักการคู่คลื่นอนุภาคเพื่อหาระดับพลังงานควอนไตซ์ แต่เราจะตีความฟังก์ชันคลื่นที่เกี่ยวพันธ์กับแต่ละระดับพลังงานได้อย่างไร คำตอบของคำถามนี้อยู่ในหลักของบอร์น (Born rule) ที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ว่า กำลังสองของฟังก์ชันคลื่นที่จุดใดๆแสดงถึงความน่าจะเป็นของการพบอิเลคตรอนใกล้จุดนั้น  แบบจำลองอะตอมสอดคล้องตามนี้ื ในบริบทนี้ อิเลคตรอนควรคิดว่า ไม่ใช่เป็นจุดอนุภาคแต่เป็น การกระจายขยายไปทั่วปริมาตรของอะตอม เราสามารถที่มองภาพอะตอมเป็นนิวเคลียสประจุบวกที่ห้อมล้อมด้วยกลุ่มหมอกประจุลบ ที่ความเข้มข้นที่จุดใดๆเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของฟังก์ชันคลื่นที่จุดนั้น แบบจำลองแบบนี้ใช้ได้ดีในหลายสถานะการณ์  แต่ไม่ความใช้ตรงไปตรงมาตามตัวอักษรมากเกินไป ถ้าเรามองหาอิเลคตรอนในอะตอมจริง เราจะพบได้เป็นจุดอนุภาคเสมอ ในอีกทางหนึ่งก็เป็นการผิดพลาดที่คิดให้อิเลคตรอนเป็นจุดอนุภาคเมื่อเราไม่ได้กำลังสังเกตตำแหน่งของมัน  ในทางฟิสิกส์ควอนตัมเราใช้แบบจำลองแต่ไม่ได้ตีความตรงไปตรงมามากเกินไป  จะกลับมากล่าวถึงเรื่องนี้อีกครั้งในบทที่ 8

คณิตศาสตร์ 2.7 

ระดับพลังงานอะตอมไฮโดรเจน สามารถเขียนอยู่ในรูปสมการทั่วไปได้คือ

          En  =  -R/n²

เมื่อ n คือจำนวนเต็ม และ R  คือค่าคงที่  นิพจน์สำหรับ R ในเทอมของตัวคงที่พลั้ง(h), มวล(m) และประจุ(e) ของอิเลคตรอน และตัวคงที่จากพลังงานศักย์คูลอมบ์ (k; ดูคณิตศาสตร์ 1.3) ซึ่งหาค่า R นี้ได้จากการแก้สมการชเรอดิงเงอร์ ซึ่งได้ผลคือ

   

         R  =  2π²k² me⁴/h²

ใช้ปริมาณตัวที่รู้ค่าแล้วทางขวาของสมการ ( k = 9.0 x 10^9 JmC^-2; m = 9.1 x 10^-31Kg; e = 1.6 x 10^-19C; h = 6.6 x 10^-34Js)  จะได้ค่า  R = 2.2 x 10^-18 J.

รูปแบบของระดับพลังงานแสดงไว้ดังในรูป 2.9 ซึ่งแสดงรูปแบบของฟังก์ชันคลื่นสำหรับ 3 สถานะต่ำสุด เราไม่ควรจะประหลาดใจที่เห็นว่ามันสั่่นแก่วงหรือออสซิลเลท จำนวน humps เพื่อขึ้นตามพลังงานที่เพิ่มขึ้น แม้ว่ารูปร่างและขนาดของ hump เปลี่ยนแปลงไปมากกว่าในกรณี อิเลคตรอนในกล่อง

ตอนนี้เราอยู่ในตำแหน่งทีเปรียบเทียบกับระดับพลังงานที่ทำนายเหล่านี้ กับ จากการทดลอง  จากที่พลังงานของโฟตอนจากการดูดกลืนและปลดปล่อยเมื่ออะตอมดำเนินการเปลี่ยนระดับพลังงานจากสถานะหนึ่งไปยังอีกสถานะหนึ่ง ก็เป็นเพียงความแตกต่างระหว่างสถานะพลังงานเหล่านี้ และใช้ความสัมพันธ์ของพลั้งแล้วจะได้

         f_mn =(R/m²  -R/n²)

เมื่อ fm,n คือความถี่ของโฟตอนที่เกี่ยวเนื่องกับการเปลี่ยนระดับสถานะพลังงาน En  และ Em ดังตัวอย่างเช่น

         f1,2 = 3R/4h;    f1,3 = 8R/9h;    f2,3 = 5R/36h

คำนวณหาความยาวคลื่นที่เกี่ยวเนื่อง จากความถี่ในแนวทางปกติ โดยกำหนด (ที่ c เป็นอัตราเร็วแสง = 3.0 x 10^8 m/s)

          I1,2 = 4ch/R;  I1,3 = 9ch/8R;  I2,3 = 36ch/5R

อีกครั้งหนึ่งแทนค่าตัวเลขเข้าไปแล้วจะได้

          I1,2 = 1.2x 10^-7 m ;  I 1,3 = 1.0 x 10^-7m;  I2,3 = 65 x 10^-7 m

ความสอดคล้องกับค่าที่วัดได้จากการทดลองจากการเฝ้าสังเกตแสงที่ถูกดูดกลืนและปลดปล่อยออกมาจากอะตอมไฮโดรเจน  ยิ่งกว่านั้นยังเป็นจริงเมื่อปริมาณที่คำนวณได้โดยใช้ค่าที่มีความละเอียดเท่าที่ทำได้สำหรับตัวคงที่ทางกายภาพ ซึ่งปกติแล้วมีความละเอียดถึงตำแหน่งทศนิยมที่ 8 หรือ 9

แผนการจัดการเรียนรู้ มคอ.3

เปิดอ่านคลิกที่นี่

บทที่ 2 คลื่นและอนุภาค คลื่นสาร, อิเลคตรอนในกล่อง

คลื่นสาร (matter wave)
     จากความจริงที่ว่าแสงโดยทั่วไปคิดให้เป็นคลื่นนั้นมีคุณสมบัติเป็นอนุภาค เป็นเหตุให้นักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศษ  หลุย เดอ บรอย (Louis de Broglie) คาดคะเนในทางกลับกันว่าวัตถุอื่นๆที่เรามักจะคิดเป็นอนุภาคนั้นมีคุณสมบัติเป็นคลื่นด้วย โดยวิธีนี้ลำอิเลคตรอนโดยธรรมชาติคิดจินตนาการให้เหมือนกับกระแสของอนุภาคเล็กๆ คล้ายกระสุนปืน  อาจจะเป็นได้ในบางสถานะการณ์ที่ทำตัวเหมือนกับเป็นคลื่น  ด้วยแนวคิดแตกต่างนี้ได้รับการสนับสนุนยืนยันเป็นครั้งแรกในปี คศ. 1920s โดย เดวิดสันและเจอร์เมอร์ (Davidson and Germer)  โดยเขาได้ผ่านลำอิเลคตรอนเข้าไปในผลึกของกราไฟท์(graphite) แล้วสังเกตรูปแบบการสอดแทรกที่คล้ายคลึงกับหลักการในการเกิดการสอดแทรกที่ให้แสงผ่านช่องแคบในการทดลองของยัง (ตามรูป 2.4) ตามที่ได้เห็นเข้าใจคุณสมบัตินี้เป็นหลักฐานยืนยันที่แสงประพฤติตัวเป็นคลื่น ดังนั้นการทดลองนี้จึงยืนยันได้โดยตรงถึงโมเดลที่จะประยุกต์ใช้กับอิเลคตรอน  ต่อมาได้มีมีหลักฐานการค้นพบคุณสมบัติคลื่นของอนุภาคที่หนักกว่า เช่นนิวตรอน และตอนนี้เชื่อว่าสมบัติคู่คลื่น-อนุภาคเป็นคุณสมบัติทั่วไปของอนุภาคทุกชนิด  แม้แต่วัตถุในชีวิตประจำวันเช่นเม็ดทราย ลูกฟุตบอล รถยนต์ก็มีคุณสมบัติของคลื่น  แม้ว่าในกรณีเหล่านี้คลื่นไม่สามารถที่จะสังเกตเห็นได้เลยในทางปฏิบัติ เป็นเพราะความยาวคลื่นมีขนาดเล็กเกินไปที่สามารถสังเกตได้ แต่อีกอย่างด้วยเพราะว่าวัตถุคลาสสิกประกอบด้วยอะตอม ต่างก็มีความเกี่ยวพันธ์กับคลื่นของตัวเอง และคลื่นเหล่านี้ทั้งหมดที่กระเพื่อมเปล่ี่ยนแปลงเข้ามาเกี่ยวข้อง

     เราได้เห็นที่ผ่านมาแล้วว่าในกรณีของแสงความถี่ในการสั่นของคลื่นเป็นปฏิภาคตรงกับพลังงาน       ควอนตัม  ในกรณีของคลื่นสาร ความถี่กลับปรากฏว่ายุ่งยากที่จะกำหนดและเป็นไปไม่ได้ที่จะวัดได้โดยตรง กลับพบว่ามีความเชื่อมโยงระหว่างความยาวคลื่นของคลื่นและโมเมนตัมของวัตถุ  กล่าวคือ ยิ่งอนุภาคมีโมเมนตัมมากเท่าใด ความยาวคลื่นของคลื่นสารยิ่งสั้นมากเท่านั้น  เรื่องนี้อภิปรายในรายละเอียดดังในคณิตศาสตร์ 2.3

คณิตศาสตร์ 2.3 
ตามที่กล่าวถึงแล้วในบทที่ 1 โมเมนตัมกำหนดให้เป็นมวล(m)ของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่คูณกับความเร็วของวัตถุ(v)
                    p = mv

เดอบรอยได้ตั้งสมมุติฐานในกรณีของคลื่นสารถึงความเชื่อมโยงของคลื่นอนุภาคคือ ความยาวคลื่นเท่ากับค่าคงที่ของพลั้งหารด้วยโมเมนตัม

                  l = h/p = h/(mv)

ค่าคงที่ของพลั้ง h คือค่าคงที่รากฐานของธรรมชาติมีค่าเท่ากับ 6.6x10^34 Js การใช้ค่านี้จะเห็นว่า อิเลคตรอนตัวหนึ่งที่มีมวลประมาณ 10^-30 kg เคลื่อนที่อัตราเร็วปกติ 10^6 ms^-1 จะมีความยาวคลื่นประมาณ  6x10^-10 m ซึ่งใกล้เคียงกับความยาวคลื่นรังสีเอ็กซ์ทั้่วไป เม็ดทรายที่มีมวลประมาณ 10^-8 kg เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว 1mms^-1 มีค่าความยายคลื่นประมาณ 10^-20 m ซึ่งส่งผลให้คุณสมบัติของคลื่นไม่สามารถสังเกตได้นั่นเอง


       ในคลื่นแบบคลาสสิกจะต้องมีบางอย่างเคลื่อนเป็นลักษณะคลื่นเสมอ ดังนั้นคลื่นน้ำเห็นได้ที่ผิวหน้าของน้ำเคลื่อนที่ขึ้นลง ในคลื่นเสียงความดันอากาศอัดคลายตัวสั่นกระเพื่อม และในคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กเปลี่ยนแปลง  จากนี้แล้วใช้ปริมาณอะไรในกรณีของคลื่นสารได้ในทำนองเดียวกัน  คำตอบทั่วไปก็ว่าไม่มีอะไรตรงกันที่มาเปรียบได้  เราสามารถที่จะคำนวณเกี่ยวกับคลื่นโดยใช้แนวคิดและสมการของฟิสิกส์ควอนตัม และเราสามารถใช้ผลลัพธ์เพื่อทำนายค่าของปริมาณที่สามารถวัดได้จากการทดลอง แต่เราไม่สามารถสังเกตคลื่นได้โดยตรง  จึงไม่จำเป็นที่ต้องกำหนดคลื่นทางกายภาพและไม่ควรพยายามที่ทำเช่นนั้น เพื่อจะเน้นย้ำในเรื่องนี้เราใช้เทอมที่เรียกว่า ฟังก์ชันคลื่น (wave function) มากกว่าที่จะเป็นคลื่นจริงทางกายภาพ ซึ่งเน้นในจุดที่เป็นทางฟังก์ชันคณิตศาสตร์มากกว่าที่จะเป็นวัตถุทางกายภาพ  เทคนิคอีกอย่างที่แตกต่างระหว่างฟังชันคลื่นกับคลื่นคลาสสิก ที่ได้อภิปรายมาแล้ว  นั่นคือที่คลื่นคลาสสิกสั่นแก่วงที่ความถี่ของคลื่น ในกรณีคลื่นสาร ฟังก์ชันคลื่นยังคงคงที่ตามเวลา

      อย่างไรก็ตามแม้ไม่ใช่เชิงกายภาพโดยตัวเอง ฟังก์ชันคลื่นแสดงบทบาทหลักในการประยุกต์ใช้ ฟิสิกส์ควอนตัม เพื่อความเข้าใจถึงสถานะการณ์จริงทางกายภาพ  สิ่งแรกคือ  ถ้าอิเลคตรอนจำกัดขอบเขตภายในบริเวณที่กำหนด ฟังก์ชันคลื่นก่อตัวเป็นคลื่นนิ่งคล้ายคลึงกับที่ได้อภิปรายมาก่อนหน้านี้ ผลที่ได้เป็นความยาวคลื่น และดังนั้นโมเมนตัมของอนุภาค ใช้ค่าชุดควอนไตซ์เต็มหน่วย  ประการที่สองถ้าเราดำเนินการทดลองเพื่อตรวจจับการปรากกฏตัวของอิเลคตรอนใกล้จุดเฉพาะ  มีความโน้มเอียงที่เราจะพบอิเลคตรอนในบริเวณซึ่งฟังก์ชันคลื่นใหญ่กว่าฟังก์ชันคลื่นที่ขนาดเล็ก แนวคิดนี้ได้นำมาใช้บนฐานเชิงปริมาณมากขึ้นโดย แมก บอน (Max Born)  โดยมีหลักกล่าวว่าความน่าจะเป็นในการพบอนุภาคใกล้กับจุดเฉพาะเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของแมกนิจูดของฟังก์ชั่นคลื่นที่จุดนั้น

     อะตอมประกอบด้วยอิเลคตรอนที่จำกัดขอบเขตอยู่ในบริเวณเล็กๆของสเปสซ์โดยแรงดึงดูดทางไฟฟ้ายึดโยงกับกับนิวเคลียส จากที่เรากล่าวไว้ก่อนแล้วว่าเราสามารถคาดหวังถึงฟังก์ชันคลื่นที่เกี่ยวข้องเพื่อก่อตัวเป็นรูปคลื่นนิ่ง และเราจะได้กล่าวถึงเรื่องนี้ต่อไป ที่นำไปสู่ความเข้าใจคุณสมบัติที่สำคัญของอะตอม เราเริ่มการอภิปรายโดยพิจารณาระบบอย่างง่ายซึ่งจินตนาการให้อิเลคตรอนจำกัดเขตอยู่ภายในกล่องขนาดเล็ก

อิเลคตรอนในกล่อง     

   ในตัวอย่างนี้เราพิจารณากรณีของอนุภาคในกล่อง ซึ่งเราจะคิดอนุภาคให้เป็นอิเลคตรอน ที่กักเก็บไว้ในกล่อง การทำเช่นนี้หมายความว่า ถ้าอิเลคตรอนอยู่ในกล่องนั้น  พลังงานศักย์ของอิเลคตรอนมีค่าคงที่ ซึ่งเราสามารถกำหนดให้มีค่าเป็นศูนย์   อิเลคตรอนที่จำกัดขอบเขตอยู่ในกล่องเพราะว่าถูกห้อมล้อมด้วยบริเวณที่มี่พลังงานศักย์สูงมาก ซึ่งอิเลคตรอนไม่สามารถผ่านเข้าไปได้โดยไม่ไปลบล้างหลักการคงตัวของพลังงาน  การเทียบเคียงทางคลาสสิกอาจเป็นลูกบอลอยู่ภายในกล่องสี่เหลี่ยมที่วางอยู่บนพื้น โดยให้แต่ละด้านของกล่องสูงมากพอ ลูกบอลก็ไม่สามารถหนีเล็ดลอดออกจากกล่อง เพราะว่าการทำเช่นนั้นจะเป็นต้องเอาชนะความโน้มถ่วง  เราจะพิจารณาต่อไปถึงคลื่นสารที่เหมาะสมกับสถานะการณ์ และเราอาจเปรียบเทียบเหล่านี้กับกรณีของสระน้ำหรือสระว่ายน้ำ ที่ซึ่งน้ำถูกห้อมล้อมด้วยขอบแข็ง เป็นขอบสระที่เป็นของแข็ง ไม่สามารถที่จะสั่นแกว่งได้ ดังนั้นคลื่นที่เกิดขึ้นจึงจำกัดเกิดอยู่เฉพาะน้ำ

     ขณะที่ทำให้ง่ายเข้า เราจัดการปัญหาให้อยู่ในแบบหนึ่งมิติ ซึ่งเหมายถึงว่าอิเลคตรอนจำกัดของเขตให้เคลื่อนที่อยู่ได้ในทิศทางเฉพาะในสเปสซ์ ดังนั้นการเคลื่อนที่ในทิศทางอื่นๆไม่นำมาคิด เราจึงสามารถที่จะเทียบเคียงกับคลื่นบนเส้นเชือก ซึ่งเป็นหลักของหนึ่งมิติเพราะว่าสามารถเคลื่อนได้เฉพาะตามเส้นเชือก ถึงตอนนี้เราพิจารณารูปแบบของฟังก์ชั่นคลื่นของอิเลคตรอน (electron wave function) เพราะว่าอิเลคตรอนไม่สามารถหลุดหนีออกจากกล่อง  โอกาสความน่าจะเป็นในการพบ(ค้นหา)อิเลคตรอนภายนอกกล่องจึงเป็นศูนย์  ถ้าเราพิจารณาที่เป็นขอบมุมของกล่อง โอกาสความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาคที่จุดนั้นสามารถมีได้เฉพาะค่าหนึ่ง ดังนั้นจากที่ค่าเป็นศูนย์นอกกล่องหมายถึงว่าจะต้องมีค่าเป็นศูนย์ภายในกล่องที่ประชิดกันอยู่ด้วย  เงื่อนไขนี้คล้ายกันมากกับการประยุกต์ใช้ในสายไวโอลิน หรือ กิต้า  และที่เราได้เห็นมาก่อนแล้วนั้น  คิดได้ว่าคลื่นนั้นต้องเป็นคลื่นนิ่งด้วยความยาวคลื่นที่ฟิตเข้ากับสเปสซ์ที่ยอมให้ได้ (รูปที่ 2.3)

รูปที่ 2.3 คลื่นนิ่งเกิดขึ้นเมื่อคลืนถูกจำกัดขอบเขตอยู่ในบริเวณในสเปสซ์  คลื่นเคลื่อนที่ขึ้นลงแต่ไม่ใช่สเปสซ์ที่เปลี่ยนไป จากรูปจะมองเห็นเป็นลูปตำแหน่งเดิม

ที่แสดงในรูป 2.5  เราเข้าใจว่าความยาวคลื่นของคลื่นจำกัดอยู่ที่ค่าหนึ่งของจำนวนเต็มของครึ่งความยาวคลื่นที่จะให้ฟิตเข้ากับกล่อง  หมายความว่าเฉพาะค่าความยาวคลื่นเหล่านี้เท่านั้นที่ยอมให้ได้  และ ขณะที่โมเมนตัมของอิเลคตรอนหาได้จากค่าความยาวคลื่น โดยอาศัยความสัมพันธ์หรือสมมุติฐานของเดอบรอย  โมเมนตัมก็จำกัดด้วยชุดของค่าเฉพาะด้วยเหมือนกัน (ดูคณิตศาสตร์ 2.4) 

คณิตศาสตร์ 2.4

การประยุกต์ใช้ผลที่พบก่อนหน้านี้ สำหรับคลื่นนิ่งบนเส้นเชือก (ดูคณิตศาสตร์ 2.2)   มาใช้ในกรณีของ อิเลคตรอน บอกให้เราทราบว่าความยาวคลื่นของฟังก์ชันคลื่นเกี่ยวข้องกับอิเลคตรอนตัวหนึ่งในกล่องความยาว L มีค่าหนึ่งที่

          ln = 2L/n

เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม เป็นไปตามสมมุติฐานของเดอบรอย (คณิตศาสตร์ 2.3)ที่ว่าขนาด(magnitude) โมเมนตัมของอิเลคตรอนจะต้องมีค่าหนึ่ง จ่าค่ามี่มี

          pn = h/ln = nh/2l

เราสามารถใช้ความสัมพันธ์นี้แสดงหลักความไม่แน่นอนของไฮเซ็นเบิร์ก  เมื่อปริมาณทางกายภาพแผ่ขยายออกไปด้วยค่าที่เป็นไปได้  เรากำหนดค่านี้ว่าเป็นความไม่แน่นอนเป็นครึ่งหนึ่งของขนาดที่แผ่ขยายออกไป ในกรณีของตำแหน่งของอนุภาคหนึ่งในกล่อง  ปริมาณนี้คือ dx เมื่อ

        dx = 1/2L

และโมเมนตัมคือ  

       dp = pn = nh/2Ld_

จะได้ว่า              dxdp = nh/4

ค่าที่น้อยที่สุดสามารถมีได้  h/4 เมื่อ n = 1  หลักความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์กกล่าวคือ

            dxdp > h/4pi

เมื่อ pi เป็นตัวคงที่ทางคณิตศาสตร์มีค่าประมาณ 3.142 ซึ่งให้ผลสอดคล้องตามนี้อย่างชัดเจน

 จากที่ทราบแล้วว่าพลังงานศักย์มีค่าเป็นศูนย์ และพลังงานจลน์ของอิเลคตรอนขึ้นอยู่กับมวลและโมเมนตัมที่ทราบค่าเท่านั้น เราจะเห็นว่าพลังงานรวมทำนองเดียวกันที่จำกัดขอบเขตที่ชุดหนึ่งของค่าเฉพาะ นั่นคือพลังงานอยู่ในสภาพควอนไตซ์ (quantized) เป็นชุดของระดับพลังงาน (energy level)  (รายละเอียดที่มากกว่านี้กำหนดไว้ส่วนคณิตศาสตร์2.5) ประกอบด้วยค่าพลังงานที่ยอมให้ได้  ดังได้แสดงไว้ในรูปที่ 2.5  ที่เห็นได้ว่ามีช่วงว่างระหว่างระดับของพลังงานกว่้างมากขึ้นขณะที่พลังงานเพิ่มมากขึ้น ที่จุดนี้เราเริ่มที่จะเข้าใจถึงคุณสมบัติอะตอมบางอย่างที่อภิปรายกันตอนปลายบทที่ 1 บนฐานของผลเหล่านี้ แต่ก่อนที่จะทำเช่นนั้นเราจะใช้ตัวอย่างเพื่ออภิปรายแนวคิดความไม่แน่นอนในฟิสิกส์ควอนตัม

รูปที่ 2.5 ระดับพลังงานและฟังก์ชันคลื่นสำหรับสถานะพลังงาน (energy state) ของอิเลคตรอนในกล่อง  เพราะว่าฟังก์ชันคลื่นจะต้องเท่ากับศูนย์ที่ขอบของกล่อง ความยาวกล่องต้องเท่ากับจำนวนเต็มของครึ่งหนึ่งความยาวคลื่น และเงื่อนไขนี้นำไปสู่ค่าที่ยอมให้ได้ของพลังงาน สามสถานะของความยาวคลื่นมากที่สุด และดังนั้นแสดงถึงพลังงานต่ำสุด จำนวน n แสดงตาม คณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องต่อไป


บางคนอาจเคยได้ยินเกี่ยวกับหลักความไม่แน่นอนของไฮเซ็นเบิร์ก ที่ให้ชื่อตามนักฟิสิกส์ Werner Heisenberg เป็นผู้บุกเบิกแนวคิดทางฟิสิกส์ควอนตัม โดยออกแบบแนวทางของตัวเองเกี่ยวกับเรื่องนี้ก่อน ที่ชเรอดิงเงอร์จะพัฒนาสมการของเขาขึ้นมา ในเทอมทั่วไปหลักความไม่แน่นอนกล่าวว่า "เป็นไปไม่ได้ที่จะทราบค่าปริมาณฟิสิกส์ 2 อย่างได้ละเอียดถูกต้องในขณะเดียวกัน" ดังเช่น ตำแหน่งและโมเมนตัมของอนุภาคหนึ่งๆ ในเวลาเดียวกัน เราสามารถเห็นได้ถึงกระบวนการนี้โดยอ้างถึงตัวอย่างของอนุภาคในกล่อง ถ้าแรกสุดพิจารณาตำแหน่ง ที่เรารู้ทั้งหมดคือตำแหน่งของอนุภาคอยู่ในบางที่ภายในกล่อง และเรากำหนดความไม่แน่นอนของตำแหน่งเป็นระยะจากศูนย์กลางไปยังขอบของกล่อง นั่นคือครึ่งหนึงของขนาดของกล่อง เมื่อกลับไปพิจารณาโมเมนตัม ถ้าพิจารณาอนุภาคที่สถานะพื้น (ground state) ฟังชันคลื่นอยู่ในรูปของส่วนคลื่นซึ่งความยาวคลื่นเป็นสองเท่าของขนาดกล่อง ขณะที่อนุภาคคงสามารถจะเคลื่อนที่ไปในทิศทางไม่ซ้ายก็ขวาได้ ความไม่แน่นอนในโมเมนตัม (กำหนดคล้ายคลึงกับในกรณีตำแหน่ง) คือค่าแมกนิจูดสูงสุด ซึ่งขึ้นอยู่กับความยาวคลื่น ซึ่งเป็นไปตามที่ว่าเมื่อกล่องขนาดโตขึ้น ความไม่แน่นอนในตำแหน่งก็เพิ่มมากขึ้น แต่สำหรับค่าโมเมนตัมคงจะน้อยลง ถ้าเราคูณปริมาณเหล่านี้เข้าด้วยกัน จะได้ว่าขนาดของกล่องหักล้างกัน ผลคูณจะเท่ากับค่าคงที่ของพลั้ง ซึ่งมีรายละเอียดตามคณืิตศาสตร์ 2.4  หลักความไม่แน่นอนของไฮเซ็นเบิร์กกล่าวว่า ผลคูณความไม่แน่นอนในตำแหน่งกับโมเมนตัมไม่สามารถที่จะน้อยกว่าจำนวนเท่ากับ 1/10 ของค่าคงที่ของพลั้ง  และเราเห็นว่านี้ที่จริงเป็นกรณีสำหรับตัวอย่างของเรา นี้คือคุณสมบัติทั่วไปของฟังชั่นคลื่นที่เกี่ยวข้องกับสถานะควอนตัม เราควรจะหมายเหตุไว้ว่าหลักความไม่แน่นอนนั้นเป็นผลของคู่คลื่น-อนุภาค และดังนั้นฟิสิกส์ควอนตัมไม่น่าจะเป็นอย่างอื่นที่เพิ่มเติมเข้ามา


ตอนนี้กลับไปเปรียบเทียบคุณสมบัติตามตัวอย่างอะตอมที่อภิปรายไว้แล้วในบทที่ 1  ก่อนอื่นได้กำหนดระบบที่มีระดับพลังงานต่ำสุดที่เป็นไปได้ ซึ่งเรียกว่า สถานะพื้น (ground state)  ดังน้นถ้าเรามีจำนวนกล่องเหมือนกันที่มีอิเลคตรอนอยู่ภายใน สถานะพื้นของอิเลคตรอนคงจะมีเหมือนกัน คุณสมบัติอย่างหนึ่งของอะตอมที่เราไม่สามารถอธิบายแบบคลาสสิก คืออะตอมทั้งหมดตามชนิดที่กำหนดมีคุณสมบัติเดียวกัน และโดยเฉพาะอย่างยิ่งทั้งหมดต่างก็มีสถานะพลังงานต่ำสุดเดียวกัน แม้ว่าสมบัติคู่คลื่นอนุภาคฟิสิกส์ควอนตัมได้อธิบายว่าทำไมสถานะเช่นนั้นมีอยู่ในกรณีของอิเลคตรอนในกล่อง และจะเห็นได้ต่อไปว่าใช้หลักการเดียวกันประยุกต์ใช้กับอิเลคตรอนหนึ่งๆ ในอะตอม

ตอนนี้มาพิจารณาว่าอะไรเกิดขึ้นกับอิเลคตรอนภายในกล่องเมื่อเปลี่ยนจากระดับพลังงานที่ยอมให้ได้หนึ่งไปยังระดับพลังงานอื่น กล้วาได้ว่าจากสถานะที่ถูกกระตุ้นแรก (first excited state) กลับไปยังสถานะพื้น  เพื่อที่ให้พลังงานคงตัว พลังงานที่หายไปจะต้องไปอยู่ในบางที่ และถ้าเราคิดให้ว่าถูกปลดปล่อยจากการแผ่รังสีควอนตัมแม่เหล็กไฟฟ้า ความยาวคลื่นจากการแผ่รังสีนี้สามารถคำนวณได้จากความแตกต่างระหว่างระพับพลังงานโดยใช้สูตรของพลั้ง  โดยเรามีสารสนเทศที่จำเป็นในการคำนวณในกรณีของหนึ่งอิเลคตรอนภายในกล่อง ที่ความยาวประมาณเส้นผ่าศูนย์กลางของอะตอม และมีรายละเอียดตามคณิตศาสตร์ที่ 2.5  ที่พบว่าความยาวคลื่นจากการแผ่รังสีเหมือนกับขนาดที่วัดจากการทดลองเมืออะตอมไฮโดรเจนมีการเปลี่ยนระดับพลังงาน  อีกครั้งหนึ่งที่เราเห็นถึงฟิสิกส์ควอนตัมอธิบายคุณสมบัติทางอะตอมได้ขณะที่ไม่สามารถอธิบายได้ทางคลาสสิก

คณิตศาสตร์ 2.5
จากที่โมเมนตัมเท่ากับมวลคูณด้วยความเร็ว ขณะที่พลังงานศักย์เป็นศูนย์ ในกรณีนี้พลังงานของอนุภาคในกล่องคือ

      En  =  1/2 mvn^2  =  pn^2/2m = (h^2/8mL2)n^2

ที่เราใช้นิพจน์สำหรับ pn  หามาจากคณิตศาสตร์ 2.4
    ถ้า L เท่ากับขนาดของอะตอม (กล่าวคือ 3 x 10^-10m) แล้วใช้ค่ามวลอิเลคตรอนที่ทราบค่าแล้ว 
(m = 10^-30 Kg) 

       E = 5 x 10^-19 n^2J

การเปลี่ยนแปลงของพลังงานเมื่ออิเลคตรอนหนึ่งเคลื่อนที่จาก สถานะ n =2 ไปยังสถานะ n =1 ดังนี้

      3h^2/8 mL2 = 1.1 x 10^-18 J

ถ้าพลังงานนี้ให้แก่โฟตอน ความถี่ f ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่เกี่ยวข้อง หาได้จากหารพลังงานด้วย h และความยาวคลื่นที่สอดคล้องกันคือ 

      l = c/f = 8mL^2c/3h = 1.1 x 10^-7 m

ค่อนข้างจะเหมือนกับความยาวคลื่นของการแผ่รังสีที่ปลดปล่อยจากอะตอมไฮโดรเจน ที่เปลี่ยนระดับพลังงานจากสถานะที่ถูกกระตุ้นแรก (excited state) ไปยังสถานะพื้น ซึ่งความยาวคลื่นมีค่า 1.4x10^-7 m


การที่ได้ค่าจำนวนต่างๆเกี่ยวกับขนาดที่ถูกต้องทำให้เชื่อได้ไปพลางก่อนว่าอย่างน้อยที่สุดคุณสมบัติบางอย่างของอะตอมเป็นผลมาจากธรรมชาติคลื่นของอิเลคตรอน อย่างไรก็ตามเราควรรู้ว่ายังมีความแตกต่างระหว่างอะตอมในสามมิติและ กล่อง1 มิติ เราเห็นแล้วในบทที่ 1 ที่อะตอมประกอบด้วยอิเลคตรอนประจุลบดึงดูดกับนิวเคลียสประจุบวก  ดังนั้นพลังงานศักย์ดึงดูดลดค่าลงกับอิเลคตรอนที่ยิ่งใกลห่างจากนิวเคลียส ผลก็คือการจำกัดอิเลคตรอนไว้ที่บริเวณของนิวเคลียส และเราคงจะคาดให้ฟังก์ชันคลื่นเป็นคลื่นนิ่ง  อยางไรก็ตามไม่เพียงแต่กล่องอะตอมสามมิติยังมีรูปร่างที่แตกต่างจากการอภิปรายที่ผ่านมา ดังนั้นเราอาจจะไม่เชื่อมั่นได้อย่างเต็มที่ถึงความถูกต้องตามแนวทางของเราก่อนที่เราจะประยุกต์ใช้กับพลังงานศักย์อะตอมจริง จะได้กล่าวถึงเรื่องนี้อีกครั้ง

บทที่่ 2 : คลื่นและอนุภาค .. การเคลื่อนที่ของคลืนและคลืนนิ่ง, คลื่นแสง, การสอดแทรก, ควอนต้าแสง

คลื่นและอนุภาค
       หลายคนทราบมาแล้วว่า คุณสมบัติคู่คลื่นอนุภาค (wave - particle duality) เป็นลักษณะสำคัญของฟิสิกส์ควอนตัม ในบทนี้จะพยายามทำความเข้าใจว่าลักษณะดังกล่าวหมายความว่าอย่างไร และช่วยให้เราเข้าใจครอบคลุมปรากฏการณ์ รวมทั้งคำถามเกี่ยวกับโครงสร้างอะตอม  ในตอนท้ายของบทที่แล้ว เราจะพบว่าในระดับควอนตัม ผลที่ได้ของกระบวนการทางกายภาพหลายอย่างไม่สามารถหาออกมาได้แน่ชัด และเท่าที่ทำได้ดีที่สุดในการทำทำนาย ความน่าจะเป็น (probability) ของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้หลายอย่าง
     เราจะพบบางอย่างที่เรียกว่า ฟังก์ชันคลื่น (wave function) เข้ามามีบทบาทสำคัญในการหาค่าความน่าจะเป็นเหล่านี้ ตัวอย่างเช่นความแรงหรือความเข้ม (strength or intensity) ที่จุดใดๆ แทนความน่าจะเป็น ที่จะตรวจสอบพบอนุภาคที่อยู่ใกล้กับจุดนั้น  เพื่อจะได้สร้างความเข้าใจให้ดียิ่งขึ้น เราจำเป็นต้องทราบบางอย่างเกี่ยวกับฟังก์ชันคลื่นที่เหมาะสมกับสถานะการณ์ทางกายภาพที่เรากำลังพิจารณา นักฟิสิกส์ควอนตัมมืออาชีพคำนวณหาค่าโดยแก้ปัญหาสมการทางคณิตศาสตร์ที่ค่อนข้างซับซ้อนที่เรียกกันว่าสมการ ชะเรอดิงเงอร์ (Schrodinger equation : ตามชื่อของนักฟิสิกส์ชาวออสเตรีย Erwin Schrodinger ซึ่งเป็นผู้ที่ค้นพบสมการชะเรอดิงเงอร์ในปี 1920)  ก่อนที่จะได้ศึกษาเรื่องนี้ในรายละเอียดเราจะมาเริ่มต้นสร้างพื้นฐานด้วยคุณสมบัติพื้นฐานของคลื่น โดยเริ่มจากการอภิปรายเรื่องนี้ที่เป็นลักษณะทางฟิสิกส์คลาสสิกส์

เราต่างก็คุ้นเคยกับเรื่องคลื่นมาบ้าง สำหรับคนที่อาศัยอยู่ใหล้แหล่งน้ำหรือเคยไปเที่ยวแถบชายทะเล หรือเดินทางด้วยเรือก็จะรู้ถึงคลื่นในทะเลมหาสมุทร อาจมีขนาดใหญ่ที่ส่งผลร้ายทำความเสียหายกับเรือที่โดยสารที่ต้องระมัดระวัง (รูปที่ 2.1a) และคลื่นยังให้ความสำราญในการเล่นน้ำโต้คลื่น หรือมองดูด้วยความเพลิดเพลิน อย่างไรก็ตามจุดประสงค์ของเราจะมีประโยชน์กว่าเมื่อคิดถึงคลื่นที่กระเพื่อมในแหล่งน้ำเช่นเมื่อโยนก้อนหินลงในสระที่น้ำนิ่ง จะทำให้ผิวหน้าของน้ำเคลื่อนขึ้นลงก่อให้เกิดรูปแบบในการกระเพื่อมออกจากจุดตกลงในน้ำ ตามรูป 2.1b    รูปที่ 2.2 แสดงถึงรายละเอียดตามช่วงเวลาที่กำหนดแสดงให้เห็นการเปลี่ยนแปลงตามเวลาในที่ต่างกัน ที่จุดเฉพาะหนึ่งๆ ในสเปสซ์ ผิวหน้าของน้ำคลื่นที่เป็นวัฏจักรหรือขึ้นลงเป็นวงรอบซ้ำแบบเดิม ความสูงของการกระเพื่อมเรียกว่าแอมปลิจูดของคลื่น(amplitude)  และเวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ครบวงรอบเรียกว่าคาบ(period)  บ้อยครั้งเป็นประโยชน์เมื่ออ้างถึงความถี่ของคลื่น อันได้แก่จำนวนครั้งต่อวินาทีที่เคลื่อนที่ไปได้ครบรอบวัฏจักรการสั่น ที่ขณะใดขณะหนึ่งของเวลา รูปร่างของคลื่นที่ซ้ำกันในสเปสซ์ ด้วยระยะทางซ้ำเดิมเรียกกันว่าความยาวคลื่น ระหว่างเวลาที่ตรงกับ 1 คาบของคลื่นรูปแบบการเคลื่อนที่ไปตามระยะทางเท่ากับระยะความยาวคลื่น ซึ่งหมายถึงว่าคลื่นเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วตรงกับหนึ่งคลื่นต่อคาบ

รูปที่ 2.1 a) คลื่นชายหาด   (b) คลื่นกระเพื่อมในสระ

รูปที่ 2.2 คลื่นน้ำประกอบด้วยชุดลำดับที่กระเพื่อมประกอบด้วยยอดและท้องคลื่น ที่ขณะหนึ่ง ระยะทางระหว่างยอดคลื่น หรือ ระหว่างท้องคลื่น เรียกกันว่าความยาวคลื่น l ความสูงมากที่สุดของคลื่นเรียกว่าแอมปลิจูดของคลื่น A รูปนี้แสดงรูปแบบของคลื่นที่เวลาต่างๆ จากแรกสุด (t=0) ตอนเริ่มต้น โดยติดตามเส้นในแนวดิ่ง  จะเห็นว่าผิวน้ำกระเพื่อมขึ้นลงเป็นหรือกลับไปกลับมาและกลับไปสู่ตำแหน่งที่เหมือนเดิมอีกหลังจากเวลาผ่านไป T เรียกว่าคาบ (period) ของคลื่น ส้่วนเส้นตรงเอียงไปทางขวาแสดงให้เห็นในช่วงเวลาของคาบยอดคลื่นคลื่อนไปได้ระยะ l เป็นไปตามการเคลื่อนที่ของคลื่นที่ อัตราเร็ว c = l/T

คณิตศาสตร์ 2.1

เราแสดงความยาวคลื่นของคลื่น โดย l และคาบของคลื่น โดย T  ความถี่ของคลื่นจะเป็น

          f = 1/T

และอัตราเร็วของคลื่นคือ    

         c = l/T  = lf

      การสั่น

การเดินทางของคลื่น และคลื่นนิ่ง
     คลื่นตามที่แสดงในรูปที่ 2.2 เรียกว่าการเคลื่อนที่ของคลื่นหรือการเดินทางของคลื่น เพราะว่าคลื่นเคลื่อนที่ไปในสเปสซ์ จากตัวอย่างแสดงการเคลื่อนที่จากทางซ้ายไปทางขวา แต่สามารถที่จะเคลื่อนจากซ้ายมาขวาได้เช่นกัน ตามที่เห็นได้จากรูป 2.1(b) การกระเพื่อมแผ่ขยายจากจุดที่ก้อนหินตกในน้ำแผ่ขยายออกทุกทิศทาง

เช่นเดียวกันการเคลื่อนที่ของคลื่น เราจำเป็นต้องทราบเกี่ยวกับคลื่นนิ่ง ตามตัวอย่างที่แสดงในรูป 2.3 ที่เราเห็นว่าคลื่นมีรูปร่างเหมือนกันตามที่อภิปรายมาแล้วที่น้ำเคลื่อนที่ขึ้นและลงเป็นวงรอบ แต่ตอนนี้คลื่นไม่ได้คลื่อนที่ต่อไป แต่ยังคงอยู่ในที่ตำแหน่งเดิม ตามที่ให้ชื่อไว้คือคลื่นนิ่ง (standing wave)

รูปที่ 2.3 คลื่นนิ่งเกิดขึ้นเมื่อคลื่นหนึ่งถูกจำกัดบริเวณในสเปสซ์ คลื่นคลื่นที่ขึ้นลงตามเวลาไม่ใช่ตามสเปสซ์

คลื่นน่ิ่งปกติแล้วเกิดขึ้นเมื่อถูกจำกัดขอบเขตภายในช่องหนึ่งมีตัวกั้นหรือเขตแดน 2 ตำแห่นง ถ้าจัดให้คลื่นเคลื่อนที่คลื่นจะสะท้อนที่ปลายเขตกั้นด้านหนึ่งและเคลื่อนกลับมาในทิศทางตรงกันข้าม เมื่อคลื่นที่เคลื่อนที่ในสองทิศทางรวมตัวกัน ผลลัพธ์ที่ได้เป็นคลื่นนิ่งดังแสดงในรูปที่ 2.3  ในหลายกรณีผนังที่เขตกั้นของช่องนั้นคลื่นไม่สามารถที่จะทะลุทะลวงผ่านไปได้  เป็นผลให้แอมปลิจูดที่เขตกั้นทั้งสองของช่องเท่ากับศูนย์ นั้นหมายความว่าเฉพาะคลื่นนิ่งความยาวคลื่นเฉพาะเท่านั้นที่สามารถจัดเข้าอยู่ระหว่างเขตกั้นของช่องได้ เพราะว่าสำหรับคลื่นที่จะมีแอมปลิจูดเป็นศูนย์ได้ที่เขตกั้นทั้งสอง ความยาวคลื่นต้องเป็นความยาวที่ถูกต้องสำหรับเลขจำนวนเต็มของยอดคลื่นหรือท้องคลื่นเพื่อให้เข้ากับระหว่างเขตกั้นทั้งสอง ตามการคำนวณทางคณิตศาสตร์ในรายละเอียดดังนี้

คณิตศาสตร์2.2
อ้างตามรูปที่ 2.3 เราได้เห็นว่าถ้าคลื่นนิ่งมีแอมปลิจูดเป็นศูนย์ที่เขตกั้นปลายทั้งสองของช่องความยาว L แล้วจำนวนเต็มของครึ่งหนึ่งของความยาวคลื่นจัดลงได้ในระยะ L พอดี ดังนั้น

           L = 1/2nln   ดังนั้น  ln = 2L/n

เมื่อ  n เป็นเลขจำนวนเต็ม และ ln เป็นค่าหนึงของความยาวคลื่นที่จัดพอดีกับความยาว L    สำหรับ n ที่เป็นตัวห้อยของ l กำกับไว้เพื่อแยกให้เห็นความยาวคลื่นที่เป็นคลื่นนิ่งที่แตกต่างกัน ดังนั้นเขียนได้ว่า

           l1 = 2L ,   l2 = L , l3 = 2L/3  และต่อๆ ไป

ตามที่ความถี่ของคลื่นสัมพันธ์กับความยาวคลื่น ที่จำกัดอยู่กับชุดของค่าดังนี้

          fn = c/ln  =  nc/2L

หลักการภายใต้การดำเนินการของเครื่องดนตรีหลายอย่าง ตัวอย่างเช่นตัวโน้ตดนตรีที่ได้จากไวโอลินหรือกีต้าหาได้จากความถี่ของคลื่นนิ่งที่ยอมให้ได้บนสายที่ขึงบนเครื่องดนตรี ซึ่งในทางที่กลับกันควบคุมโดยการปรับความยาวที่ขึงที่ผู้เล่นปรับความถิ่งการสั่น  เพื่อเปลี่ยนระดับเสียงของโน้ตผู้เล่นจะกดที่สายลงที่จุดแตกต่างกันเพื่อเปลี่ยนความยาวของการสั่นที่เป็นส่วนของสายที่เกิดเสียง คลื่นนิ่งแสดงบทบาทในเครื่องดนตรีทุกชนิด แต่ละชนิดให้เสียงแตกต่างกัน และการทำให้เกิดคลื่นนิ่งก็มีวิธีที่แตกต่างกัน เสียงที่ได้จากกลองมาจากคลื่นนิ่งที่จัดให้ที่ผิวของกลองเป็นต้น  ชนิดของเสียงสร้างขึ้นจากเครื่องดนตรีที่แตกต่างกัน .. เพราะว่าโน้ตที่สร้างขึ้นมีเนื้อหาฮาร์โมนิกแตกต่างกัน จากสิ่งดังกล่าวนี้หมายถึงการสั่นให้เกิดเสียงดนตรีไม่ใช่มีเฉพาะโน้ตที่ตรงกับค่าหนึ่งของความถี่ที่ยอมให้ได้  แต่เป็นการสร้างจากการรวมกันของคลื่นนิ่ง  ที่ความถี่ทั้งหมดเป็นผลคูณของความถี่พื้นฐานระดับต่ำสุด

อย่างไรก็ตาม ถ้าคลื่นนิ่งเป็นเรื่องราวทั้งหมด เสียงคงจะไม่เคยมาถึงหูเรา สำหรับเสียงที่ส่งผ่านมายังผู้ฟัง การสั่นของเครื่องมือจะต้องก่อให้เกิดการเดินทางของคลื่นไปในอากาศ ซึ่งนำเสียงไปยังผู้ฟัง  ตัวอย่างเช่น ในไวโอลิน ตัวเครื่องดนตรีสั่นแก่วงเข้าข้างกับสายไวโอลินและก่อให้เกิดการเดินทางของคลื่นแผ่ไปยังผู้ฟัง  วิทยาศาสตร์จำนวนมาก(หรือศิลป์)  ในการออกแบบเครื่องดนตรีประกอบด้วย การแน่ใจของความถี่โน้ตหาจากความยาวคลื่นที่ยอมให้ได้ของคลื่นนิ่ง ถูกสร้างขึ้นให้ปล่อยการเดินทางของคลื่น  การทำความเข้าใจพฤติกรรมของเครื่องดนตรีให้สมบูรณ์ และแนวทางที่ส่งผ่านเสียงไปยังผู้ฟังเป็นหัวข้อหลักโดยตัวเอง ซึ่งเราไม่จำเป็นต้องก้าวลึกไปในรายละเอียดในท่ี่นี้ ผู้ที่สนใจควรหารายละเอียดจากเรื่องฟิสิกส์ของดนตรี

คลื่นแสง
     ปรากฏการณ์เหมือนคลื่นที่คุ้นเคยกันดี ที่เป็นการแผ่รังสีคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ตัวอย่างเช่นคลื่นวิทยุที่นำสัญญาณมายังเครื่องรับวิทยุของเรา  และในโทรทัศน์ และใน แสง คลื่นเหล่านี้มีความถี่และความยาวคลื่นที่แตกต่างกัน  ตัวอย่างเช่นวิทยุ FM ทั่วไปมีความยาวคลื่นราว 3 เมตร ขณะที่ความยาวคลื่นแสงขึ้นอยู่กับสีของแสง อยู่ในช่วงประมาณ 4x10^-8 m สำหรับแสงสีฟ้า และความยาวคลื่น 7x10^-8 m สำหรับแสงสีแดง สีอื่นๆ มีความยาวคลื่นอยู่ระหว่างสีดังกล่าว

คลื่นแสงต่างจากคลื่นน้ำและคลื่นเสียง ซึ่งไม่มีอะไรที่สอดคล้องตรงกับการสั่นของตัวกลางเช่นคลื่นน้ำ เสีย เส้นเชือก ที่ได้อภิปรายกันมาแล้ว  ในความเป็นจริงคลื่นแสงมีความสามารถในการเคลื่อนที่ผ่านที่ว่างในสเปสซ์ เห็นได้ชัดจากที่เราสามารถเห็นได้ว่ามีการปลดปล่อยแสงจากดวงอาทิตย์และดาวฤกษ์ต่างๆ คุณสมบัตินี้ของคลื่นแสงแสดงให้เห็นถึงปัญหาหลักต่อนักวิทยาศาสตร์ในศตวรรษที่ 18 และ ศตวรรษที่ 19  บ้างก็สรุปว่าสเปสซ์ไม่ได้ว่างเปล่าที่สารบางอย่างที่ไม่สามารถตรวจจับได้เรียกกันว่าอีเธอร์(aether) ซึ่งคิดให้สนับสนุนการสั่นเป็นตัวกลางให้คลื่นแสง อย่างไรก็ตามสมมุติฐานนี้นำไปสู่ความยุ่งยาก เมื่อทราบกันดีว่าคุณสมบัติที่ต้องการเพื่อสนับสนุนที่ความถี่สูงมากตามปกติของแสง ไม่สามารถเข้ากันได้กับอีเธอร์ที่คิดให้ไม่มีความเสียดทานใดๆ ในการเคลื่อนที่ของวัตถุผ่านอีเธอร์ (เช่นเดียวกับโลกเคลื่อนที่เป็นวงโคจรออยู่ได้)

ประมาณปี 1860 ที่เจม เคริก แมกเวลล์ (James Clerk Maxwell) ได้แสดงให้เห็นว่าข้อตกลงให้มีอีเธอร์นั้นไม่จำเป็นต้องมี ในเวลานั้น ฟิสิกส์ของไฟฟ้าและแม่เหล็กได้พัฒนาขึ้นแล้ว และแมกเวลล์สามารถแสดงให้เห็นว่าในฟิสิกส์ดังกล่าวนั้นประกอบด้วยชุดของสมการที่เข้าพัฒนาขึ้นที่เรียกว่าสมการขอบแมกเวลล์ เขายังได้แสดงให้เห็นว่ารูปแบบหนึ่งของคำตอบจากสมการตรงกับการคงอยู่ของคลื่น ที่ประกอบด้วยการสั่นกระเพื่อมของสนามแม่เหล็กและสนามไฟฟ้าที่สามารถเคลื่อนที่ผ่านที่ว่างในสเปสซ์ได้โดยไม่ต้องใช้ตัวกลางใดๆ อัตราเร็วของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่เคลื่อนไปหาได้จากตัวคงที่พื้นฐานของไฟฟ้าและแม่เหล็ก และเมื่อคำนวณอัตราเร็วนี้ออกมา พบว่าตรงเท่ากับที่วัดอัตราเร็วแสง เรื่องนี้นำไปสู่แนวคิดว่าแสงเป็นคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าโดยตรง  และปัจจุบันโมเดลนี้ยังประยุกต์ใช้กับช่วงของปรากฏการณ์อื่นๆ รวมทั้งคลื่นวิทยุ โทรทัศน์ การแผ่รังสีความร้อน (infrared) และ รังสีเอ็กซ์ (X-Rays)

การสอดแทรก (Interference)
     หลักฐานอันเป็นปรากฏการณ์ว่าแสงเป็นคลื่นดูได้จากการศึกษาเรื่องการสอดแทรก โดยทั่วไปการสอดแทรกเกิดขึ้นจากคลื่นสองคลื่นที่มีความยาวคลื่นเดียวกันมารวมกันและกัน อ้างถึงรูปที่ 2.4 (a) จะเห็นว่าถ้าคลื่นทั้งสองอยู่ในขั้นที่รวมตัวเข้าด้วยกัน(เทอมทางเทคนิคเรียกว่าอยู่ในเฟสเดียวกัน (in phase) ) การรวมตัวกันก่อให้เกิดคลื่นรวมมีแอมปลิจูดเป็นสองเท่าของแอมปลิจูดของคลื่นเดิมที่มารวมกัน ในอีกทางหนึ่งอยู่ในขั้นที่หักล้างกันหมดพอดี(antiphase) ตามรูป 2.4 (b)  ในสถานะการณ์ที่อยู่ระหว่างการเสริมและหักล้างนั้น การสอดแทรกที่คลื่นหักล้างกันบางส่วนและผลรวมแอมปลิจูดอยู่ที่ค่าระหว่างค่า สูงสุดและต่ำสุด  การสอดแทรกเป็นหลักฐานหลักสำคัญสำหรับคุณสมบัติของคลื่นแสง และไม่มีโมเดลอื่นใดที่อธิบายได้ถึงผลอ้นนี้  ตัวอย่างเช่นสมมุติว่ามีกระแสอนุภาคคลาสสิกส์สองชุด ผลรวมอนุภาคจะเท่ากับผลรวมอนุภาคในแต่ละชุดมารวมกัน และอนุภาคดังกล่าวคงไม่สามารถที่จะหักล้างกันเหมือนกับที่คลื่นทำได้

รูปที่ 2.4 เมื่อจัดให้คลื่นสองคลื่นมารวมกัน เมื่อรวมเสริมกันดังใน(a) เมื่อรวมกันแบบหักล้างกันดังใน (b) การทดลองของยัง ตามที่แสดงไว้ใน (c) คลื่นแสงไปถึงจุดบนฉากรับ S โดยสามารถเคลื่อนมาจากช่องแคบO แล้วผ่าน ช่องแคบ A หรือ B ดังนั้นเมื่อมารวมกัน แต่ละคลื่นเดินทางมาด้วยระยะทางที่แตกต่างกัน และรูปแบบการสอดแทรกประกอบด้วยชุดแถบของแสงและแถบมืดสังเกตได้บนจอภาพ

บุคคลแรกที่สังเกตและอธิบายการสอดแทรกคือโทมัส ยัง ประมาณปี 1800 ได้ทดลองดังแสดงในรูปที่ 2.4(c) โดยให้แสงเคลื่อนที่ผ่านช่องแคบ O หลังจากนั้นไปยังจอรับแสงที่มีสองช่องแคบ A และ B  สุดท้ายไปตกที่จอภาพ S  อันเป็นที่เราสังเกต แสงที่มาตกจอรับสุดท้ายสามารถเคลื่อนมาจากเส้นทางหนึ่งจากสองเส้นทาง ไม่ว่าโดยเส้นทาง A หรือ  B  นั้นระยะทางที่แสงเดินทางในแต่ละเส้นทางไม่เท่ากันดังนั้นเป็นขั้นที่ไม่ถึงจอรับภาพกันและกันทันที เป็นไปตามที่ได้อภิปรายมาแล้วกล่าวคือที่บางจุดบนจอรับคลื่นรวมกันแบบเสริมกันและกัน ขณะที่จุดอื่นหักล้างกัน เป็นผบให้เกิดรูปแบบที่ประกอบด้วยชุดของแถบแสงสว่าง และแถบมืดสังเกตได้บนจอรับภาพ

นอกเหนือจากที่กล่าวมาแล้วต่อไปก็จะเห็นว่ามีหลักฐานที่แสงแสดงตัวมีคุณสมบัติเป็นอนุภาคในบางสถานะการณ์ และการที่จะเข้าใจธรรมชาติควอนตัมของแสงได้มากขึ้นได้ โดยนำเราเข้าสู่ คุณสมบัติคู่คลื่นอนุภาค

ควอนต้าของแสง (Light Quanta)
     ราวปลายศตวรรษที่ 19 และ ตอนต้นศตวรรษที่ 20 ปรากฏหลักฐานชี้ให้เห็นว่าการอธิบายว่าแสงเป็นคลื่นเพียงอย่างเดียวนั้นไม่เพียงพอที่ให้ครอบคลุมคุณสมบัติที่สังเกตได้ทั้งหมด  อันแรกเกีียวข้องกับคุณสมบัติของการแผ่รังสีความร้อนที่ปลดปล่อยจากวัตถุที่ร้อน เป็นไปได้อย่างมีเหตุผลว่าอยู่ที่อุณหภูมิสูง  การแผ่รังสีความร้อนนี้จะกลายเป็นแสงที่มองเห็นได้ และอธิบายว่ามีสีแดงร้อน ที่แม้ว่าจะมีอุณหภูมิสูงขึ้น จะเรียกว่าขาวร้อน (white hot)  เรากำหนดได้ว่าสีแดงตรงกับความยาวคลื่นยาวมากที่สุดในสเป็กตรัมของแสง ปรากฏว่าเป็นแสงความยาวคลื่นยาวสามารถทำให้เกิดขึ้นได้ง่าย (นั่้นคือที่อุณหภูมิต่ำ) กว่าแสงความยาวคลื่นสั้น จริงแล้วการแผ่รังสีความร้อนของความยาวคลื่นที่ยาวกว่าเป็นที่รู้จักกันทั่วไปว่ารังสีคลื่นอินฟราเรด จากทฤษฎีการแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าของแมกเวลล์ และความก้าวหน้าในการทำความเข้าใจเรื่องความร้อน นักฟิสิกส์พยายามทำความเข้าใจคุณสมบัติการแผ่รังสีความร้อน ที่ทราบในตอนนั้นอุณหภูมิมีความสัมพันธ์กับพลังงาน  ยิ่งวัตถุร้อนกว่า วัตถุนั้นก็จะยิ่งมีพลังงานมากกว่า  เช่นกันทฤษฎีของแมกเวลล์ได้ทำนายว่าพลังงานของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าควรขึ้นอยู่เฉพาะกับแอมปลิจูดของคลื่น และโดยเฉพาะอย่างยิ่งควรจะเป็นอิสระจากความยาวคลื่น ดังนั้นอาจคาดหวังได้ว่าวัตถุร้อนสามารถแผ่รังสีได้ทุกความถี่ การแผ่รังสีได้แสงสว่างขึ้นแต่ไม่เปลี่ยนสีขณะที่อุณหภูมิสูงขึ้น  การคำนวณในรายละเอียดแสดงเห็น ถึงเหตุที่จำนวนคลื่นที่เป็นไปได้ที่ความยาวคลื่นที่กำหนดเพิ่มขึ้น  ขณะที่ความยาวคลื่นลดลงการแผ่รังสีคลื่นที่สั้นกว่าควรจะให้แสงที่สว่างกว่าที่มีความยาวคลื่นมากกว่า และอีกครังหนึ่งที่เรื่องนี้ควรจะเหมือนกันในทุกค่าอุณหภูมิ ถ้าเป็นจริงตามนี้วัตถุทั้งหมดควรปรากฏเป็นแสงสีม่วง ความสว่างโดยรวมต่ำลงที่อุณหภูมิต่ำและสูงขึ้นที่อุณหภูมิสูงขึ้น ซึ่งแน่นอนว่าไมเป็นไปตามที่เราสังเกต รูจักกันในนาม ultraviolet catastrophe

ในความพยายามที่จะแก้ปัญหาเรื่องultraviolet Catastrophe  Max Planck ได้เสนอไว้ในปี 1900 ว่ากฏทางแม่เหล็กไฟฟ้าควรจะได้มีการปรับปรุงที่ให้พลังงานคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าอยู่ในรูปของกลุ่มก้อนประกอบด้วยพลังงานคงตัว และเขาได้กำหนดว่าพลังงานที่มีอยู่ในกลุมก้อนหนึ่งหาได้จากความถี่ของคลื่น ยิ่งมีพลังงานมากขึ้นสำหรับที่ความถี่สูงขึ้น (ความยาวคลื่นสั้น) ในรายเอียดขึ้นให้ถือเป็นหลักว่าแต่ละกลุ่มก้อนพลังงานนำพลังงานเท่ากับความถี่คูณด้วยจำนวนคงที่ที่ตอนนี้เรียกว่าตัวคงที่ของพลั้ง (planck'sconstant) เชื่อว่าเป็นตัวคงที่รากฐานของธรรมชาติ มีค่าประมาณ 6.6x10^-23 Js กลุ่มก้อนพลังงานดังกล่าวเรียกว่าควอนตัม (quantum พหุพจน์ คือ quanta) เป็นคำในภาษาลาติน แปลว่าจำนวน ที่อุณหภูมิค่อนข้างต่ำมีพลังงานความร้อนเพียงพอเฉพาะที่ให้เกิดการกระตุ้นที่ความถี่ต่ำ นั่นคือควอนต้าที่ความยาวคลื่นมาก ที่ซึ่งที่ความถี่ที่สูงกว่าก่อให้เกิดเฉพาะอุณหภูมิที่สูงกว่า ซึ่งสอดคล้องตามรูปแบบจากการสังเกตตามที่อธิบายดังกล่าว ทฤษฎีของพลั้งยังสามารถให้ผลในการคำนวณหาปริมาณการแผ่รังสีที่เกิดขึ้นแต่ละความยาวคลื่นที่อุณหภูมิที่กำหนด และการทำนายเหล่านี้ตรงกันพอดีกับผลจากการวัด

ปรากฏการณ์อีกอย่างที่นำไปสู่การแบบที่ยึดถือทางควอนตัม คือphotoelectric effect  เมื่อปล่อยให้แสงมาตกกระทบผิวโลหะเรียบในศูนยากาศ อิเลคตรอนจะถูกปลดปล่อยออกมา ทั้งหมดน้ำนำประจุไฟฟ้าลบ  กระแสของอิเลคตรอนก่อให้เกิดเป็นกระแสไฟฟ้า  การจัดแรงดันไฟฟ้าบวกให้กับแผ่นโลหะสามารถที่จะทำให้กระแสอิเลคตรอนหยุดได้ และแรงดันไฟฟ้าน้อยที่สดที่สามารถนำไปใช้ในการวัดพลังงานที่อิเลคตรอนแต่ละตัวมีได้  เมื่อทำการทดลองเช่นนี้พบว่าพลังงานของอิเลคตรอนจะมีค่าเท่าเดิมสำหรับแสงที่ความยาวคลื่นที่กำหนดหนึ่ง ถ้าให้แสงที่ใช้สว่างมากขึ้นจะได้จำนวนอิเลคตรอนมากถูกปลดปล่อยออกมามากขึ้น แต่พลังงานที่นำโดยอิเลคตรอนแต่ละตัวไม่เปลี่ยนแปลง

     ในปี 1905 ไอน์ไตน์ (ในตอนนั้นยังไม่ค่อยเป็นที่รู้จัก)ได้ตีพิมพ์ 3 บทความ ที่มีผลให้มีการปฏิวัติถึงฟิสิกส์ในอนาคต เรื่องหนึ่งสัมพันธ์กับปรากฏการณ์การเคลื่อนที่ของบราวเนี่ยส (Brownian motion) ซึ่งจากละอองเกษรดอกไม่ที่ลอยในของเหลวเห็นได้ชัดว่ามีการเคลื่อนที่แบบสุ่มเมื่อสังเกตภายใตกล้องจุลทัศน์ ไอน์สไตน์ได้แสดงให้เห็นว่ามีสาเหตุมาจากเกษรดอกไม้ถูกพุ่งชนจากอะตอมของของเหลว ด้วยการเข้าถึงอย่างลึกซึ้งนี้ประกอบกันเป็นการพิสูจน์ท้ายสุดถึงการคงอยู่ของอะตอม  อีกบทความหนึ่งของไอน์ไตน์ (เป็นบทความที่เป็นที่รู้จักได้รับการยกย่อง) เริ่มต้นของทฤษฎีสัมพันธภาพ รวมทั้งความสัมพันธ์ที่มีชื่อเสียงระหว่างมวลและพลังงาน  อย่างไรก็ตาม เราเกี่ยวพันธ์อยู่กับบทความที่ 3 ซึ่งเขาได้รับรางวัลโนเบิล ในบทความนี้ได้เสนอการอธิบาย photoelectric effect บนฐานของสมมุติฐานคอวนตัมของพลั้ง โดยไอน์ไตน์ตระหนักว่าถ้าพลังงานในคลื่นแสงนำพลังงานในรูปของควอนต้าที่ตายตัว แล้วเมื่อแสงไปกระทบกับโลหะ ควอนต้าแสงจะถ่ายทอดพลังงานไปยังอิเลคตรอน ผลก็คือ พลังงานที่นำโดยอิเลคตรอนจะเท่ากับพลังงานที่นำโดยควอนตัมของแสงลบด้วยพลังงานที่พลังงานคงตัวที่ใช้ในการผลักดันให้อิเลคตรอนหลุดออกจากโลหะ (เรียกว่า work function) และแสงยิ่งมีความยาวคลื่นสั้นหรือความถี่สูงอิเลคตรอนที่ปลอดปล่อยออกมายิ่งมีพลังงานมากขึ้น  เมื่อทำการวัดตามคุณสมบัติของ photoelectric effect แล้ววิเคราะห์ผลตามหลักการดังกล่าว พบว่าสอดคล้องตรงตามที่ไอน์ไตน์ได้ตั้งสมมุติฐานไว้ทุกประการ และค่าคงที่ของพลั้งที่เทียบเคียงหามาได้จากการวัดนี้ก็พบว่าเท่ากับที่หาโดยพลั้งจากการศึกษาเรื่องการแผ่รังสีความร้อน

     การเฝ้าสังเกตที่สำคัญเพิ่มเติม ได้แก่กรณีที่จัดให้ความเข้มของแสงต่ำมาก บางอิเลคตรอนก็ถูกปลดปล่อยออกมาในทันทีเมื่อเปิดสวิตช์ใหัแสงส่องไป  บอกเป็นนัยได้ว่าควอนตัมของพลังงานทั้งหมด ที่ขณะใดๆนั้นส่งผ่านไปอิเลคตรอนหนึ่ง ซึ่งถูกปลดปล่อยออกมา  เป็นเพียงอะไรที่จะเกิดขึ้นได้ถ้าแสงเป็นกระแสของอนุภาคมากกว่าที่จะเป็นคลื่น ดังนั้นสามารถคิดให้แสงเป็นอนุภาคที่เรียกกันว่า โฟตอน นั่นเอง(photons)

      เพราะฉะนั้นเราจึงมีหลักฐานจากการวัดการสอดแทรกที่แสงเป็นคลื่น  ขณะที่ปรากฏการณ์โฟโตอิเลคตริกเอฟเฟ็คชี้ให้เห็นว่าแสงเป็นกระแสของอนุภาค  จากหลักฐานดังกล่าวนี้เรียกกันว่าการเป็นคุณสมบัติ คู่คลื่นอนุภาค (wave-particle duality)  การอธิบายว่าแสงเป็นทั้งคลื่นและอนุภาคได้อย่างไรนั้น อาจยังไม่มีคำอธิบายที่ชัดแจ้ง ทำให้นักฟิสิกส์บางคนให้ความเห็นว่า ทฤษฎีทางฟิสิกส์ทั้งหลายยังไม่สมบูรณ์ที่จะนำมาใช้อธิบายได้ดีพอ และปรากฏการณ์ที่แสดงถึงคุณสมบัติทางควอนตัมเหล่านี้ไม่ได้เป็นประสบการณ์ที่เกิดขึ้นในชีวิตประจำวัน  แต่ต่อไปจะได้แสดงให้เห็นถึงผลที่ตามมาอันเนื่องจากปรากฏการณ์ดังกล่าว  ความจริงแล้วแสงและวัตถุควอนตัมอื่นๆ ยากที่จะเป็นคลื่นอย่างสมบูรณ์ หรือ เป็นอนุภาคโดยสมบูรณ์  และโมเดลที่เหมาะสมที่ใช้ทั่วไปขึ้นอยู่กับบริบทการทดลอง เมื่อทดลองเรื่องการสอดแทรกด้วยลำแสงความเข้มสูง การสังเกตโดยทั่วไปเราก็จะไม่เห็นพฤติกรรมของโฟตอนแต่ละตัว และมองโดยประมาณได้อย่างดีว่าแสงเป็นคลื่น ในอีกทางหนึ่งเมื่อตรวจจับโฟตอนได้ในการทดลอง
โฟโตอิเลคตริกเอ็ฟเฟ็คเราสามารถคิดอย่างมีประโยชน์ได้ว่าแสงเป็นอนุภาค  ทั้งสองกรณีคำอธิบายเหล่านั้นเป็นการประมาณการ และในความเป็นจริงแสงนั้นมีการควบรวมทั้งสองด้านในองศาที่ไม่มากก็น้อย
     ความพยายามที่จะเข้าใจวัตถุควอนตัมให้ลึกซึ้ง  นั้นได้ยกประเด็นการท้าทายต่อการเปลี่ยนแปลง
มโนทัศน์และนำไปสู่การโต้เถียงทางปรัชญาอย่างเข้มข้นในช่วงที่ผ่านมาร้อยปีหรือมากกว่า จะไม่กล่าวถึงในรายละเอียดตอนนี้ จะมุ่งเน้นผลของฟิสิกส์ควอนตัมที่มีต่อประสบการณ์ในชีวิตประจำวัน แต่จะกลับมาอภิปรายถึงพอสังเขตในตอนท้าย ดังเช่นในเรืองแมวที่มีชื่อของชเรอดิงเงอร์